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1、第12章 无 穷 级 数,【学习目标】 熟练掌握常数项级数的概念和性质。 熟练掌握正项级数和交错级数的概念及审敛法。 理解绝对收敛与条件收敛的概念。 掌握幂级数的收敛性及和函数的运算。 初步掌握将函数展开成幂级数的方法。 了解傅里叶级数的概念、收敛定理。 了解函数的傅里叶展开。,12.1 常数项级数的概念和性质 12.2 常数项级数的审敛法 12.3 幂级数 12.4 函数的幂级数展开及其应用 12.5 *傅里叶级数,12.1 常数项级数的概念和性质,人们在认识事物数量方面的特性时，往往有一个由近似到精确的过程。在这种认识过程中，常常会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题。这就是我们要
2、讨论的无穷级数问题。本节主要讨论常数级数的概念和性质。 12.1.1 常数项级数的概念 12.1.2 收敛级数的基本性质,12.1.1 常数项级数的概念,12.1.2 收敛级数的基本性质,推论 若加括号所成的级数发散，则原来级数也发散。 推论 若级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散。,12.2 常数项级数的审敛法,一般的常数项级数，它的各项可以是正数、负数或零。本节先来讨论两类特殊的常数项级数，即正项级数和交错级数的概念及审敛法。然后，进一步讨论一般的常数项级数的收敛性问题。 12.2.1 正项级数及其审敛法 12.2.2 交错级数及其审敛法 12.2.3 绝对收敛与条件收敛,12.2.1
3、正项级数及其审敛法,注 （1）定理1定理3只适用于判定正项级数的收敛性。 （2）若用比值审敛法判定正项级数发散，必有其一般项不趋于零。,12.2.2 交错级数及其审敛法,12.2.3 绝对收敛与条件收敛,12.3 幂级数,前面我们讨论了常数项级数的收敛性问题，从本节开始讨论函数项级数的收敛性问题。幂级数是函数项级数中简单而常见的一类级数。本节将介绍幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的概念与求法，并利用和函数的基本性质求幂级数的和函数。 12.3.1 函数项级数的概念 12.3.2 幂级数及其收敛性 12.3.3 幂级数的运算性质,12.3.1 函数项级数的概念,12.3.2 幂级数及其收敛性,
4、12.3.3 幂级数的运算性质,12.4 函数的幂级数展开及其应用,12.4.1 泰勒级数 12.4.2 直接展开法 12.4.3 间接展开法,12.4.1 泰勒级数,12.4.2 直接展开法,12.4.3 间接展开法,利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，这种方法被称为间接展开法。,12.5 *傅里叶级数,三角级数是由三角函数组成的函数项级数。本节将讨论由正弦函数、余弦函数和常数组成的傅里叶级数。傅里叶级数是一类重要而实用的三角级数，在物理、电子工程技术等方面有着广泛的应用。 12.5.1 三角级数 三角函数系的正交性 12.5.2 函数展开成傅里叶级数 12.5.3 正弦级数和余弦级数 12.5.4 一般周期函数的傅里叶级数,12.5.1 三角级数 三角函数系的正交性,12.5.2 函数展开成傅里叶级数,1周期为的函数的傅里叶级数,2周期延拓,12.5.3 正弦级数和余弦级数,1奇函数与偶函数的傅里叶级数,2奇延拓与偶延拓,12.5.4 一般周期函数的傅里叶级数,
