《微积分b(2)第8次习题课参考 答案(第二型曲面积分、高斯公式、斯托克斯公式、空间向量场)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分b(2)第8次习题课参考 答案(第二型曲面积分、高斯公式、斯托克斯公式、空间向量场)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微积分B(2)第8次习题课 1 / 12 微积分 B（2）第 8 次习题课 参考答案 1 （曲线积分计算:斯托克斯公式） 设C是平面2xyz+=与柱面 22 1xy+=交线，从z轴正方向看去，C为顺时针方向， 计算曲线积分()d()d()d C Izyxxzyxyz=+ ? 解：设是平面2xyz+=上以C为边界的圆盘，下侧为正，则的正向单位法向量为 111 (,) 333 =n 根据Stokes公式，得 ()d()d()d C Izyxxzyxyz=+ ? = ddddddyzzxxy xyz zyxzxy 2ddxy = 22 1 2d d2 xy x y + = = 2 （曲线积分计算：斯
2、托克斯公式） 设L是球面 222 100xyz+=和平面26314xyz=的交线，从z轴正向向下看为逆时 针方向计算曲线积分 222 ddd L xxyyzz+ 解：取为平面26314xyz=上以L为边界的有界区域，上侧为正 根据Stokes公式，得 222 ddd L xxyyzz+ 222222 ()()()()()() dddddd0 zyxzyx yzzxxy yzzxxy =+= 3 （曲线积分计算：斯托克斯公式） 已知曲线L的方程为 22 2 , zxy zx = = ,起点为 ( 0, 2,0 )A，终点为( 0,2,0 )B，计算 曲线积分 2222 ()d()dd L Iyz
3、xzxyyx yz=+ . 解：设 1 L是从点B到点A的直线段，为平面zx=上由L与 1 L围成的半圆面下侧，其法向 量的方向余弦为 11 (,0,) 22 微积分B(2)第8次习题课 2 / 12 由Stokes公式 1 2222 ()d()dd L L yzxzxyyx yz + + 2222 11 0 22 dS xyz yzzxyx y = + 2 1 (21)d 2 x yS =+ 由于曲面关于xOz平面对称，所以 2 2d0x y S = ，故 1 2222 12 ()d()ddd 22 L L yzxzxyyx yzS + += . 又 1 L的参数方程为0x=，yy=，0z=
4、（y从2到2） ，所以 1 2 2222 2 ()d()ddd0 L yzxzxyyx yzy y += . 因此 2 2 I = 4 （曲面积分计算） 设为曲面 2 2 1(01) 4 y zxz= 的上侧，计算曲面积分 dd2dd3ddIxz yzzy zxxy xy =+ 解法 1：化为二重积分计算 设曲面在三个坐标面上的投影分别为, xyyz DD和 zx D，则 3dd3d d xy D xy xyxy x y = 0=， 2 dd21d d 4 yz D y xz yzzzy z = 12 12 02 1 2d1d 4 z z y z zzy = 1 0 2(1)d 3 zzz=
5、， 2 2dd44(1)d d zx D zy zxzzxz x = 11 2 01 8d1d z z z zzxx = 2 3 =， 所以 dd2dd3ddIxz yzzy zxxy xy =+ = 解法 2：利用第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系计算 有向曲面 2 2 :1(01) 4 y zxz= 的正向单位法向量为 微积分B(2)第8次习题课 3 / 12 22 1 4 , , 2 164 x y xy = + n, 所以 22 22 426 dd2dd3ddd 164 x zzyxy Ixz yzzy zxxy xyS xy + =+= + 因为 22 6 d0 164 xy S
6、xy = + ，所以 22 22 42 d 164 x zzy IS xy + = + 设 2 2 ( , )1 4 xy y Dx y x=+，则 22 22 42 d 164 x zzy IS xy + = + 2 222 (2)(1)d d 4 xy D y xyxx y=+ 令 cos , 2 sin , xr yr = = 则 21 2222 00 d2(cos2sin)(1) 2 dIrrr r=+ 21 2232 00 (cos2sin)d4(1)drrr=+ 1 3 3 = 解法 3：利用 Guass 公式计算 取平面 2 1 2 0, : 1, 4 z y x = + 下侧为
7、正，设与 1 围成的有界闭域为 根据Guass公式，得 dd2dd3ddxz yzzy zxxy xy + 1 dd2dd3ddxz yzzy zxxy xy + 3 d d dz x y z = 2 2 1 0 d1 4 3 dd d y xz z zx y + = 1 0 6 (1)dzzz= = 又 2 12 1 4 dd2dd3dd3d d0 y x xz yzzy zxxy xyxy x y + += = ，所以 故 dd2dd3ddIxz yzzy zxxy xy =+ = 微积分B(2)第8次习题课 4 / 12 5.（曲面积分计算） 设是旋转抛物面 22 zxy=+介于平面0z
8、 =和1z =之间的部分，上侧为正，计算曲面 积分ddddddIx yzy zxz xy =+ 解法 1：化为关于, x y的二重积分 记 22 ( , )1Dx y xy=+，则 ddddddIx yzy zxz xy =+ 22 ( 2 )( 2 )() d d D xxyyxyx y= + + 21 222 00 ()d ddd 2 D xyx yrr r= += = 解法 2：利用 Gauss 公式 取 1 22 1, : 1, z xy = + 下侧为正，设是由和 1 围成的区域 根据高斯公式，得 11 dddddddddddd SSS Ix yzy zxz xyx yzy zxz
9、xy + =+ () 22 1 1d d xy x y + 1 ddddddx yzy zxz xy + + (1 1 1)dV = + + 2 211 00 3 3ddd 2 r r rr z= = 又因为 1 ddddddx yzy zxz xy + 22 1 d d xy x y + = = ， 所以 3 ( ) 22 I = = 解法 3：分别向三个坐标面作投影 设 123 ,D DD分别是曲面在三个坐标面,xOy yOz和xOz上的投影区域，则 22 1 ( , )1Dx y xy=+， 2 2 ( , )11,1Dy zyyz= ， 2 3 ( , )11,1Dx zxxz= 微积
10、分B(2)第8次习题课 5 / 12 所以 ddddddIx yzy zxz xy =+ 22 22 d d()d d DD zyy zzyy z+ =- 331 2222 d d)d d()d d DDD zxx zzxx zxyx y+ (- 21 222 d d()d d DD zyy zxyx y+ =-4 2 1121 23 100 4dddd y yzyzrr = + 3 1 2 2 1 8 (1) d 32 yy = + 4 2 0 161631 cos d 32342222 t t= += += Remark： 本解法用了将积分曲线向各个坐标面作投影的方法， 此方法对某些曲面积
11、分的计算 是有效的利用积分值与积分变量的记号无关的性质，得到 23 22 d dd d DD zyy zzxx z = 6 （曲面积分计算：高斯公式） 设为曲面 22 2(02)zxyz=+ 的上侧，计算曲面积分 222 ()dd()dd()ddIxyyzyzzxzxxy =+ 解：取 1 22 0, : 4, z xy = + 下侧为正，设是由和 1 围成的区域 根据高斯公式，得 1 222 + ()dd()dd()ddxyyzyzzxzxxy + 2 1 3d d d3228 3 x y z = 又因为 1 222 ()dd()dd()ddxyyzyzzxzxxy + 2222 222 4
12、4 1 d d()d d4 2 xyxy xx yxyx y + = = += ， 所以 8( 4)12I = = 7 （曲面积分计算：高斯公式、三重积分换元积分公式） 设是曲面1xyzyzxzxy+=的外侧，计算曲面积分 微积分B(2)第8次习题课 6 / 12 ()dd()dd()ddIxyzyzyzxzxzxyxy =+ ? 解：设( , , )1x y zxyzyzxzxy =+ 根据高斯公式，得 3d d dIx y z = 令 , , , xyzu yzxv zxyw += += += 则 ( , , )111 ( , , )111 ( , , )4 ( , , ) 111 111
13、 D x y z D u v w D u v w D x y z = ， 所以 | | | | | | 1 ( , , ) 3d d d3d d d ( , , ) uvw D x y z Ix y zu v w D u v w + = | | | | | | 1 33 8 d d d1 44 6 uvw u v w + = Remark：1uvw+为八面体，体积为 8 6 8 （曲面积分计算） 设为曲面 2222 xyza+=(0,0,0)xyz，计算曲面积分 222222 ()dIxyz y zz xx yS =+ 解：高斯公式 记 222 1 ( , ),0,0Dx y xyaxy=+， 222 2 ( , ),0,0Dx z xzaxz=+， 222 3 ( , ),0,0Dy z yzayz=+ 取 11 :0, ( , )zx yD=， 下侧为正； 22 :0, ( , )yx zD=， 左侧为正； 33 :0, ( , )xx zD=， 后侧为正 取
