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1、 十. - 1 - - 1 - 第十章第十章 习题习题 101 1 指出下列各微分方程的阶数： (1) x(y)22yyx0; (2) (y)35(y)4y5x60; (3) y x 2yx2y0; (4) (x2y2)dx(x2y2)dy0 解: (1) 因为方程中未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 1,故该方程为一阶微分方程. (2) 二阶. (3) 三阶. (4) 一阶. 2 验证下列给定函数是其对应微分方程的解： (1) y(xC)ex, yyex; (2) xyC1exC2ex, xy2yxy0; (3) xcos2tC1cos3tC2sin3t， x9x5cos2t; (4) 2
2、2 1 2 C y C x 1， xyyx(y)2yy0 解: (1) () ()() () ee eeee e xx xxxx x yxc yyxcxc yxc 是微分方程e x yy 的解. (2) 在方程 12 ee xx xycc 两边对 x 求导有 12 ee xx yxycc 上方程两边对 x 求导 有 12 2ee xx yxycc ,即2yxyxy 即 20xyyxy 所以 12 ee xx xycc 所确定的函数( )yy x是方程20xyyxy的解. (3) 12 12 12 12 2sin23 sin33cos3 4cos29cos39sin3 94cos29cos39s
3、in3 9cos29cos39sin3 5cos2 xtctct xtctct xxtctct tctct t 所以 12 cos2cos3sin3xtctct是微分方程95cos2xxt 的解. 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 2 - - 2 - (4) 方程 22 12 1 xy cc 两边对 x 求导得 21 0(1)
4、c xc yy (1)式两边对 x 求导得 2 211 ()0(2) cc yc yy (2)式两边同乘以 x 得 2 211 ()0(3) c xc x yc xyy (3)-(2)得 2 ()0xyyx yyy 所以 22 2 1 1 xy cc 是方程 2 ()0xyyx yyy的解. 3 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程 解: 设( , )x y是曲线( )yf x上任一点,则过该点的切线方程为()Yyy Xx,由已知 0X 时,Yx,得xy xy 即 0xyyx 为( )yf x所满足得微分方程. 4 求通解为 yCexx 的微分方程，这里 C
5、为任意常数 解: 由exyCx得1exyC ,而由已知exCyx得 1yyx 故通解为 exyCx的微分方程为1yyx . 习题习题 10 2 1求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y x y 1 1 ； (2) xydx 2 1xdy0; (3) (xy2x)dx(yx2y)dy0; (4) sinxcos2ydxcos2xdy0; (5)1, 0 11 0 x yy x y x y x dd； (6) yyxey0, y(1)0; (7) ye2xy， 0 0 x y 解: (1) 原方程分离变量得 (10) 11 dd yx y yx ,两边积分得 此文档由天天l
6、e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 3 - - 3 - 1 lnln1 1 cy x 即 1 ln (1)(1)cxy , 即 1 (1)(1)ecxy , 1 (1)(1)ecxy , 记 1 ecc,有 (1)(1)(0)xyc c, 而当 10y 即 1y 时,显然是方程的解,上 式取0c 时包含了1y ,故方程的解为(1)(1)xyc (
7、c 为任意常数) (2) 分离变量得: 2 2 10,0 1 dd x xy xy y x ,两边积分得, 2 1 1lnxcy,可知 2 1 1 ee cx y ,即 2 1 1cx yee 又 0y 显然是方程的解. 方程的通解为 2 1 e x yc (c 为任意常数). (3) 分离变量得 22 22 11 dd yx yx yx , 两边积分得 2 2 1 ln(1)ln 1 yc x ,即 2 1 2 1 ln 1 y c x 从而 1 22 1(1)ecyx ,记 1 ecc 有 22 (1) 1yc x. (4) 分离变量得, 22 sin coscos d d yx x yx
8、 ,两边积分得, 1 tan cos yc x 即 tansecyxc. (5) 原方程可化为:(1)(1)ddyyyxxx,两边积分得 2323 2323 yyxx c 由 0 1 x y 得 115 236 c , 所以原方程满足初始条件的特解为 2323 5 23236 yyxx 即 3322 2()3()5xyxy. (6) 分离变量得 e dd y yyx x , 两边积分得 2 2 ee yy x yc 由 (1)0y 得 1 2 c , 故原方程满足初始条件的特解为 2 1 (1)(1) 2 e y yx . (7) 分离变量得 2 e de d yx yx ,两边积分得 2 1
9、 2 ee yx c, 由 0 0 x y 得 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 4 - - 4 - 1 2 c ,所以,原方程满足初始条件的特解为 2 1 (1) 2 ee yx . 2 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0的物体放在保持常温 为的室内，求温度 T 与时间 t 的关系. 解: 设 t 时
10、刻物体的温度为 T,由题意有 () d d T k T t (k 为比例系数) 分离变量得 d d T k t T ,两边积分得, 1 lnktc T ,得e kt Tc , 由题意有 0t 时, 0 TT,代入上式得, 0 cT. 0 ()e kt TT (k 为比例系数). 3 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xyy 22 yx 0； (2) y x y sin x y ； (3) 3xy2dy(2y3x3)dx; (4) x2yxyy2， y(1)1； (5) xyy(lnylnx), y(1)1; (6) (yx2)dx(xy4)dy; (7) (xy)dx(3x3
11、y4)dy0 解: (1) 原方程可化为 2 1( ) yy y xx , 令 y u x 则 yux, yuxu 代入原 方程得: 2 1xuu 即 2 1 ddux x u 两边积分得 2 1 ln(1)lnuuc x 即 2 1uucx 将 y u x 代入得 222 yxycx. (2) 令 y u x ,则 ,yux yuxu 代入原方程得: sin d d u u x 即 sin ddux ux 两边积分得 1 lntanln 2 u xc,则 tan,2arctan 2 u cx ucx, 将 y u x 代入得2 arctanyxcx. (3) 原方程可化为 2 21 ( )(
12、 ) 33 d d yyx xxy , 令 y u x ,则 dd dd uy xu xx , 代入上式得, 此文档由天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您收集整理。 天天l e a r n （h t t p :/w w w .t t l e a r n .n e t ）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。 ? 十. - 5 - - 5 - 2 3 3 1 d d ux u ux , 两边积分得 3 1 ln(1)lnuxc , 即 3 (1)xuc, 将 y u x 代入得 332 xycx. (4)
13、原方程可化为 2 ( ) yy y xx , 令 y u x , 则 , dd dd yu yuxux xx ,代入上式 得 2 2 ddux uux , 即 111 22 dx xuu , 两边积分得 1 12 lnln 2 u c x u 即 2 2ucux 将 y u x 代入得 2 y cxy x , 由 (1)1y 得 1c , 2 y xy x , 即 2 2 1 x y x 所以原方程满足初始条件的特解为 2 2 1 x y x . (5) 原方程可化为 ln d d yyy xxx , 令 y u x 则 dd dd yu ux xx , 上方程可化为 ln d d u uxuu x 即 (ln1) ddux uux 两边积分得 1 lnln ln1 c ux 即 1 ln1() ecucxc 亦即 1 e cx u 将 y u x 代入得 1 e cx yx 由初始条件(1)1y 得 1c 故原方程满足初始条件的特解为 1 e x yx . (6) 原方程可化为 2 4 d d yyx xxy 解方程组 20 40 yx xy 得 1 3 x
