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1、多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。,多元函数微分学,在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。,重点,多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。,难点,复合函数求导，多元函数极值。,函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数
2、到二元以上函数则可以类推， 因此这里基本上只讨论二元函数。,掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二元极限、连续,深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高阶偏导数，,掌握全微分概念,会求复合函数偏导数，掌握隐函数的求导方法，,会求曲线的切线、法平面，曲面的切平面和法线，,会求多元函数极值,基本要求,（1）邻域,（2）区域,一、多元函数的概念,例如，,即为开集,例如，,例如，,连通的开集称为区域或开区域,有界闭区域；,无界开区域,（3）聚点,说明：, 内点一定是聚点；, 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但
3、不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n维空间,说明：, n维空间的记号为, n维空间中两点间距离公式,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离, n维空间中邻域、区域等概念,邻域：,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,设两点为,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（6） 二元函数 的图形,（如右图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,二、多元函数的极限,（1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同
4、一常数。这是产生本质差异的根本原因。,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、 等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。,说明：,证,当 时，,原结论成立,例2 求证,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,利用点函数的形式有,三、多元函数的连续性,解,取,当 时,故函数在(0,0)处连续.,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的
5、性质,（1）最大值和最小值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,（2）介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,多元函数的定义,多元函数极限的概念,（注意趋近方式的任意性）,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,四、小结,思考题,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取
6、,思考题解答,练 习 题,练习题答案,偏 导 数,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的求法,由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法,求 时把 y 视为常数而对 x 求导,求 时把 x 视为常数而对 y 求导,这仍然是一元函数求导问题,如 在 处
7、,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,一般地 设,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将 y = y0 代入 f (x ,y ),再对 x 求导然后代入 x = x0,计算 f y (x0 ,y0 ) 时同理,解,3、,4、,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是区分清函数的类型这是出错的主要原因。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),则称 f( x , y ) 关于 x , y
8、具有轮换对称性,在求 时,只需将所求的,中的 x , y 互换即可,6、偏导数存在与连续的关系,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,7、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,解,三、小结,偏导数的定义,（偏增量比的极限）,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的
9、条件）,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,练习题答案,全 微 分,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,全微分的定义,事实上,二、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如,则,当 时,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全
10、微分,证,令,则,同理,不存在.,多元函数连续、可导、可微的关系,三、小结,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,思考题,练 习 题,练习题答案,复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则,则复合函数,对 x 的导数为,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要
11、是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于 f 没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,一、链式法则,证,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示,称为标准法则或,这个公式的特征：,函数,有两个自变量 x 和 y,故法则中包含,两个公式；,由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v,故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量
12、的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”,特殊地,其中,即,令,两者的区别,区别类似,注,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形,如,则,从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,仍是复合函数,且复合结构与原来的 f ( u
13、 , v ) 完全相同,即仍是以 u , v 为中间变量，以 x , y 为自变量的复合函数,因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件,解,解,解,由链式法则,故,同理可得,解,令,记,同理有,于是,二、全微分形式不变性,全微分形式不变形的实质： 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果
14、对自变量的微分,来说是线性的,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,例5 设,各函数满足求导条件,求,解一,变量间的关系如下图所示,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到 x , z 是独立自变量,解二,由全微分定义,注,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,三、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,解,令,则,解,令,则,解,令,则,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程组的情形,1、对于方程组,怎
15、样求偏导数,首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数,当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组,如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z,故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x),若,则,怎样求,两边对 x 求导,注意左边是复合函数（三个中间变量），,同理,2、,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得,注,这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想,关于隐函数求二阶偏导数,以,为例，,主要有三种方法：,公式法,类似地可求得,直接法,方程两边连续求导两次,解得：,两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。,则,这样一次就可求得全部的一阶偏导数。,全微分法,利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接
