《《离散数学(贾振华主编)》电子教案 第三章 集合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《离散数学(贾振华主编)》电子教案 第三章 集合（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 集合,本章学习目标： 集合是一般数学及离散数学中的基本概念，几乎与现代数学的各个分支 都有密切联系，并且渗透到很多科技领域。本章主要介绍集合的基本知识， 通过本章学习，读者应该掌握以下内容： （1）集合的概念及表示方法 （2）子集、空集、全集、补集、幂集等概念 （3）集合的基本运算：交、并、补和对称差 （4）集合的包含排斥原理,第3章 集合,3.1集合的概念与表示 3.2集合之间的关系 3.3集合的运算 3.4包含排斥原理,第3章 集合,3.1集合的概念与表示 3.1.1 集合的基本概念 3.1.2 集合的表示 1列举法 2描述法 3文氏图法,第3章 集合,3.2 集合之间的关系 定义
2、3.1 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素， 则称A是B的子集，也可以说A包含于B，或者B包含A，这种 关系写作 AB 或 BA 如果A不是B的子集，即在A中至少有一个元素不属于B时， 称B不包含A，记作 BA 或 AB,第3章 集合,3.2 集合之间的关系 定义3.2 如果两个集合A和B的元素完全相同，则称这两个 集合相等，记作AB。 例如： A1，2，3，4 B3，1，4，2 Cx|x是英文字母且x是元音 Da，e，i，o，u 显然有 AB，CD,第3章 集合,定义3.4 若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨论 问题的完全集，简称全集。,3.2 集合之间的关系,定义3.
3、3 如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就 是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作 AB 或 BA 例如：集合A1，2，B1，2，3，那么A是B的真子集,定理3.1 集合A和集合B相等的充分必要条件是AB且BA。,第3章 集合,3.2 集合之间的关系 定义3.5 设A是有限集，由A的所有子集作为元素而构成的集 合称为A的幂集，记作(A)，即(A)X|XA。 在A的所有子集中，A和这两个子集又叫平凡子集。 例如：A1，2，3，则 (A)，1，2，3，1，2，1，3， 2，3，1，2，3,第3章 集合,3.2 集合之间的关系 定理3.2 设A是有限集，|A|=n，则A的
4、幂集(A)的基为2 n。 证明：由排列组合知： 又由二项式定理知： 所以可得： |(A)|= 2 n,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.1 集合的并运算 定义3.6 任意两个集合A、B的并，记作AB，它也是一个集 合，由所有属于A或者属于B的元素合并在一起而构成的，即 ABx | xA或xB 例如，Aa，b，c，Ba，b，c，d，e，则 ABa，b，c，d，e 又如，A1，2，3，4，5，B1，3，5，7，9，则 AB1，2，3，4，5，7，9,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.1集合的并运算 用文氏图表示集合之间的并运算： 用平面上的矩形表示全集U。用矩形内的圆表示U中的任一
5、集合。图中表示了集合A和集合B的并集。阴影部分就是AB。,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.1 集合的并运算 由集合并运算的定义可知，并运算具有以下性质： （1）幂等律：AAA （2）同一律：AA （3）零律：AUU （4）结合律：(AB)CA(BC) （5）交换律：ABBA,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.2 集合的交运算 定义3.7 任意两个集合A、B的交记作AB，它也是一个集合， 由所有既属于A又属于B的元素构成，即 AB x | xA且xB 例如，Aa，b，c，Bb，c，d，e，则 ABb，c 又如，A1，2，3，4，5，B1，3，5，7，9，则 AB1，3，5,第3
6、章 集合,3.3 集合的运算 3.3.2 集合的交运算 集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分就是AB。,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.2 集合的交运算 由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质： （1）幂等律：AAA （2）同一律：AUA （3）零律：A （4）结合律：(AB)CA(BC) （5）交换律：ABBA,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.2 集合的交运算,定理3.3 设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立： A（BC）（AB）（AC） A（BC）（AB）（AC）,定理3.4 设A，B为两个集合，则下列关系式成立： A（AB）A A（AB）A 这个定
7、理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.3 集合的补 定义3.8 设A、B是两个集合，A-B也是一个集合。它是由属于 集合A但不属于集合B的所有元素组成的。A-B称为集合B关于A的 补集(或相对补)。即 -Bx|x且xB A-B也称为集合A和B的差集。 例如，a，b，c，Ba，b，则 -Bc 又如，a，b，c，d，Ba，b，e，f，则 -Bc，d,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.3 集合的补 定义3.9 设U是全集，A是U的一个子集，称U-A为A关于全集 的补集，也叫做A的绝对补集，简称为补集。记作A。即 U-x|x且x 例如，Ux | x是华
8、北航天工业学院的学生， Ax | x是华北航天工业学院的女学生， 则 Ax | x是华北航天工业学院的男学生,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.3 集合的补 集合的补运算有以下性质 （1）双重否定律：（A）A （2）摩根律：U （3）摩根律：U （4）矛盾律：A（A） （5）排中律：A（A）U 为了简单，约定A（B）表示为AB，A（B）表示为 AB。,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.3 集合的补,定理3.5 设A、B是两个集合，则下列关系式成立： （AB）AB （AB）AB 这个定理称为德摩根定律。读者可以用文氏图验证。,定理3.6 设A、B、C是任意三个集合，则下列关系式成
9、立： A-BAB A-BA-（AB） 定理可由差运算的定义直接得到。,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.4 集合的对称差 定义3.10 设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作AB， 它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又 属于B。即 AB(AB)-(AB) 例如，Aa，b，c，d， Ba，c，e，f，g 那么 ABb，e，d，f，g,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.4 集合的对称差 集合的对称差的文氏图表示,第3章 集合,3.3 集合的运算 3.3.4 集合的对称差 由对称差的定义易得下列性质： （1）AA （2）AA （3）A （4）ABBA （5）（
10、AB）CA（BC） （6）AB(A-B)(B-A),第3章 集合,3.4 包含排斥原理 定理3.7 设A、B为有限集合，|A|、|B|为其基数，则 |AB|A|+|B|-|AB| 这个结论称作包含排斥原理。,第3章 集合,3.4 包含排斥原理 例3.1 假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8 人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课 都不为优的学生有几名？ 解 设英语成绩是优的学生组成的集合是A，数学成绩是优的学 生组成的集合是B，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是 AB。由题意可知 |A|10 |B|8 |AB|6,第3章 集合,3.4 包含排斥原理 解 （接上页） 由包含排斥原理可得： |AB|A|+|B|-|AB| 10+8-6 = 12 所以，两门课都不是优的学生数为：20-|AB|8。,本章小节,本章介绍了集合的基本概念、性质、表示方 法和集合的基运 算。主要内容包括：子集、空集、幂集、集合的并、交、差、有 限集合包容排斥原理等。,
