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1、第十三章 概 率 初 步,第十三章 概 率 初 步,概率论是数学的一个重要分支,主要研究客观世 界中随机现象的统计规律,它在近代科技领域内 有广泛应用。本章将介绍概率论的一些初步知 识。,第一节 随 机 事 件,一、随机现象与统计规律性,在自然界和人的实践活动中经常遇到各种各样的现象,这些 现象可以分为两大类,一类为确定性现象,另一类为随机现象 。,所谓确定性现象,是指在一定条件下必然发生或必然不会发 生的现象。例如:在标准大气压下水加热到100必然会沸 腾;生铁在室温下必定不能溶化;向上抛一块石头必然下落等 。,所谓随机现象,是指在一定条件下有多种可能结果,且事先不 能预知会出现哪种结果的现
2、象。例如:抛掷一枚质地均匀的 硬币,可能正面朝上也可能反面朝上,在每次抛之前无法预知 哪一面朝上;从一大批产品中任意抽取一个产品,这个产品可 能是合格品,也可能是废品,结果带有随机性。诸如此类的现 象都是随机现象。,二、随机事件,对随机现象的一次观察或试验叫做一次随机试验(简称试验) 。随机试验是研究随机现象的手段,它有如下三个特点:,(1)可以在相同条件下重复多次;,(2)每次试验可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有 可能结果;,(3)试验前不能预言会出现哪一种结果。,例如:投掷一颗骰子,观察出现的点数;记录某电话总机在一分 钟内所接到的呼叫次数;在一批灯泡里,任取一只,测试它的寿 命
3、等,都是随机试验。,在一定条件下,对随机现象进行试验所出现的每一种可能的 结果,叫做随机事件(简称事件),通常用大写字母A、B、C等 表示。,例如:三个产品中有两个次品,从中任取两个,“至少一个是次 品”是必然事件,“两个都是正品”是不可能事件;在标准大 气压下,把纯水加热到100,水沸腾为必然事件;某战士进行 一次射击,命中环数不超过10是必然事件,但超过10环是不可 能事件。,在概率论中,我们把必然事件和不可能事件当做特殊的随机 事件。,例如:掷一颗骰子,出现的点数为1、2、3、4、5、6都是基本 事件,而出现的点数小于3的事件A=1,2是复合事件,是由出 现点数为1和出现点数为2两个基本
4、事件构成。,随机试验的每一种可能的结果称为这个试验的一个样本点 (基本事件),记为。全体样本点的集合称为这个试验的样本 空间,也记为。,如,在掷一次硬币的试验中,样本点有两个,正面和反面。该试 验的样本空间为=正,反;在掷一颗骰子的试验中,样本点 有6个,该试验的样本空间为=1,2,3,4,5,6。,例1 某战士进行一次射击,A1=1,A2=2,A10=10分别 表示的结果为1环至10环,B表示至少命中5环,C表示命中8环 以上。试写出样本空间,并指出A1,A2,A10,B事件中哪些是基 本事件;表示事件B 和C。,解 样本空间=1,2,10; A1,A2,A10都是基本事件;B=5, 6,7
5、,8,9,10;C=9,10.,把上面做法推广到有可列个数样本空间是不难的,这种空间 称为离散样本空间。,三、概率的统计定义,在相同的条件下进行n次试验,如果事件A发生了m次,则称比 值 为事件A发生的频率,记为 即,从下面的例子可以知道,在大量的重复试验中,事件A发 生的频率会呈现出一定的规律。历史上不少人作过抛硬币 这一试验,设A表示出现正面的事件,表13-1记录了每个人的 试验结果:,表 13-1,从表13-1可以看出,事件A在n次试验中发生的频率fn(A) 具有事件波动性,且当n较小时,它随机波动的幅度较大;当n较 大时,它随机波动的幅度较小;最后,随着n的逐渐增大fn(A)逐,渐稳定
6、于固定值0.5。,一般地,只要试验是在相同的条件下进行的,那么,随机事件发 生的频率会逐渐稳定于某个常数p,它反映出事件固有的属 性,这种属性是可以对事件发生的可能性大小进行测量的客 观基础。因而可以用这个常数p作为事件的概率。,定义 (概率的统计定义)在相同的条件下进行大量重复试 验,当试验次数充分大时,事件A发生的频率在某一确定值p附 近摆动,则称p为事件A的概率,记作P(A),即,根据上述定义,在抛掷硬币试验中,事件“正面朝上”的 概率等于0.5。,四、事件之间的关系和运算,概率论中的事件是赋予了具体含义的集合。因此,事件之间 的关系与运算可以按照集合论中集合之间的关系与运算来 处理。,
7、因为随机事件可以看做是基本事件全集的子集,因此,我们 可以用集合的观点讨论事件之间的关系。,1.事件的包含关系,若事件A发生,必定导致事件B发生,则称事件A包含于事件B, 或称事件B包含事件A,记为A B或BA.,例1中,B=至少命中5环, C=命中8环以上,则BC或CB 。为了表述方便,规定对任一事件A,有A。显然,对任一事 件A,有A。这里,和分别表示不可能事件和事件A相应 试验的样本空间。,若AB且BA,则称事件A与事件B相等,记作A=B。也就是 说事件A、B所包含的基本事件是一样的。,例2 掷一颗骰子,观察出现的点数,指出下列各事件之间的 包含关系:,A=出现点数大于4,B=出现点数小
8、于6,C=出现点数不小 于5,D=出现点数不小于2,也不大于5。,解 因为=1,2,3,4,5,6,所以有,A=5,6,B=1,2,3,4,5,C=5,6,D=2,3,4,5,所以DB, A=C.,2.事件的和(并),事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的 和(并),记作AB或A+B,即AB=A、B中至少发生一个。 事件A与事件B的和事件,就是把A与B所包含的事件并在一起 。例如在例2中,AB=.,类似地,n个事件A1,A2,An至少有一个发生的事件称为这n个 事件的和(并),记为A1A2An或 Ai。,3.事件的积(交),事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的积(交
9、), 记作AB或AB,即AB=A发生,B也发生。如在例2中,A B=5,BD=2,3,4,5。,类似地,n个事件A1,A2,An同时发生的事件称为事件A1,A2, An的积(交),记作A1A2An或 Ai。,4.事件的互不相容(互斥),若事件A与事件B不能同时发生,即AB=,则称事件A与B互不,相容(或互斥)。如在例2中,若将B改为B=出现点数小于4, 则A与B是互斥的。,5.事件的对立(互逆),若事件A与事件B至少发生一个,且互不相容,即AB=且AB =,则称A、B是互为对立事件(互逆事件),分别记为A= 或B = ,显然A =, =A.如在掷一枚硬币的试验中,=正,反, A=正面, B=反
10、面,则A、B是互不相容事件。,6.事件的差,事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差,记 作A-B。显然, =-A。,事件之间的关系和运算常可用下面的图形(如图13-1)表示。,图 13-1,7.事件的相互独立,定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影 响,这样的两个事件叫做相互独立事件。,在进行事件的运算时,经常要用到如下几条规则。,1)交换律 AB=BA,AB=BA;,2)结合律,3)分配律,4)对偶律 = , = 。,例4 用文字叙述事件A与事件B的和、积的意义,并判断各 对事件是否相容、是否对立。A表示一批产品“次品数少于 6个”,B表示同批产品中“次品
11、数等于6个”。,解 AB表示这批产品中“次品数少于6个”与“次品数等 于6个”至少有一个发生,即“次品不多于6个”;AB表示这 批产品中“次品数少于6个”与“次品数等于6个”同时发 生,显然是不可能事件;事件A与事件B是不相容的,但不对立 。,一、概率的古典定义,如果随机现象具有下列两个特征:,1)随机试验只有有限个基本事件;,2)每一个基本事件在一次试验中发生的可能性相同,即每一 个基本事件的概率相等。,则称这类随机现象的数学模型为古典概型(也称等可能概型) 。,第二节 概率及其计算,定义 (概率的古典定义) 在古典概型中,若样本空间所含的 样本点总数为n,事件A所含的样本点总数为m,则事件
12、A的概 率为 ,即,利用概率的古典定义计算概率时,重要的是能否作出 “等可能性”的判断。在实际问题中,只要n个基本事件完全 处于平等的地位,就可以认为它们发生的可能性相同。,例1 从0,1,9这十个数字中,随机抽取一个数字,求取到奇 数的概率。,解 设A=取出的是一个奇数,基本随机的总个数为n=10,有 利于A发生的基本事件只有5个(抽到1,3,5,7,9),m=5。,所以,例2 一个口袋内有大小相等的1个白球和已编有不同号码 的3个黑球,从中摸出2个球,摸出2个黑球的概率是多少?,解 设A=摸出2个黑球,B=摸出2个球。事件A发生的次 数为 =3,事件B发生的次数为 =6,所以,从中摸出2个
13、黑 球的概率为,例3 设有N件产品,其中有 M件次品(MN)件,今抽取n件,则 其中恰有m件次品的概率是多少?,解 N件产品中抽取n(不放回抽样),所有可能的取法共有 种,每一种取法为一基本事件。又因在M件次品中取m件,所 有的可能取法有 种,在N-M件正品中取n-m件所有可能,的取法有 ,由乘法原理可知,在N件产品取n件,恰有m 件次品的取法共 种,于是所取的概率为,式(13-4)所示的概率称为超几何分布。,二、概率的性质,由概率的定义,可以推出概率有如下性质:,性质1 对于任一事件A,有,性质2,性质3 若事件A与事件B互不相容,则,性质3叫做概率的可加性。,推论1 若A1,A2,An是两
14、两互不相容的事件,则有,即,式(13-5)称为互不相容事件概率的加法公式。,推论2 (13-6),因为A =,所以 又因为A =, 所以,性质4 对任意两个事件A、B,有,(13-7),此式称为广义加法公式。,例5 在打靶中,“命中10环”的概率是0.4,“命中8环或9环 ”的概率为0.45,求“至少命中8环”的概率。,解 设A=命中10环,B=命中8环或9环,C=至少命中8环, 则C=AB 且AB=,所以,例6 飞机投弹炸敌方三个弹药仓库,已知投一弹命中1,2,3号 仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓 库的概率。,解 设A=命中仓库,则 =没有命中仓库;又设
15、Ai=命中 第i仓库(i=1,2,3),则P(A1)=0.01, P(A2)=0.02, P(A3)=0.03。,根据题意,A=A1A2A3(其中A1,A2,A3两两互不相容),由推论1得,即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94。,例7 某城市有50%住户订日报,有65%住户订晚报,有85%住 户至少订这两种报纸中的一种,求同时订这两种报纸的住户 的百分比。,解 设A=用户订有日报,B=用户订有晚报,则AB=用 户至少订有日报和晚报中的一种,AB=用户既订日报又订 晚报。,所以 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.65-0.85=0.3,即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%。,三、互相独立事件的概率的乘法公式,已知,P(A)=0.5, P(B)=0.65, P(AB)=0.85,两个相互独立事件同时发生的概率,等于两个事件发生的概 率的积,即,一般地,如果事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同 时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,式(13-8)称为互相独立事件的概率的乘法公式。,例8 袋中有两个白球,三个黑球,从中有放回地连续取两次, 每次取一个,求两次取出的都是白球的概率。,解 设A=第一次取得白球,B=第二次取得白球。因为每 次是放回抽样,所以A、B相互独立,从而所求概率为,四、伯努利概型,在相同条件下
