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1、,电路简明教程,主编 余本海,中国水利水电出版社,6 二阶电路时域分析 6.1 二阶电路的零输入响应 6.2 二阶电路的零状态响应、全响应 6.3 二阶电路的阶跃响应与冲激响应,本章重点： 1电路微分方程的建立 2用经典法分析二阶电路的过渡过程 3二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的分析求解； 4阶跃响应和冲激响应的分析求解 本章难点： 1电路微分的解及其物理意义 2不同特征根的讨论计算,6.1 二阶电路的零输入响应,二阶电路中无外施电源激励，仅在动态元件 初始储能作用下产生的响应。,零输入响应,、,、,的情况分析方法与之相同。,根据KVL定律，电路方程为,代入上式,为二阶线性常系数齐次
2、微分方程,特征方程,特征根,由特征根的性质（不等根、等根或共轭复根） 确定通解的具体形式。,设通解,根据电路的初始条件得出通解中的待定系数A1、A2。,（1）过阻尼情况（ ）,时特征根 、 为不相等的负实数,微分方程的解的形式为,（6-4）,（6-5）,（6-6）,由电路的初始条件：,由,初始条件为：,上式代入式（6-4）中，解出其中的待定系数。,零输入响应为,波形,图6.2,均为随着时间衰减的函数，电路的响应 为非振荡响应。电容在整个过程中一直在释放储存 的电能，称之为非振荡放电。电容在整个过程中一直 在消耗电能。,时，电感吸收能量，建立磁场；,时，电感释放能量，磁场衰减，趋向消失。,时，电
3、感电压过零点。,电流达到最大的时刻,最小时的时间为,（2）临界阻尼情况（ ）,二阶微分方程的特征根为二个相等的实根， 响应是一个临界非振荡放电过程。,当特征根为相等的实数时，微分方程的解的形式为,由式（6-5）、（6-6）可得,则解为,代入（6-10）中得,（3）欠阻尼情况（ ）,二阶微分方程的特征根为二个共轭复根，响应是一个 振荡放电过程。,时，特征根,、,为一对共轭复数，其实部为负数。,当特征根为不相等共轭复根时，微分方程的解的形式为,（6-5）,（6-6）,可将特征根写为：,根据初始条件式（6-8）求待定系数。,波形如图6.4所示。,图6.4,在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，见表
4、6-1。,表6-1,电路中的电阻较小，电容的电场能量不会很快转变为 热量消耗掉，响应经过振荡过程逐渐衰减消失，所以 称此过渡过程为欠阻尼。,在欠阻尼情况下，可以直接设电路方程的通解为,然后用初始值确定其中的待定系数 A与 。,（4）无阻尼的情况,无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。,为一对共轭虚数。,零输入响应为,（6-21）,（6-22）,图6.5,均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为 等幅振荡响应，如图6.5所示，,称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为与之 同频率的正弦函数时，则此时电路发生谐振。,二阶电路中的能量振荡,图6.6 LC电路中的能量振荡,当存在耗能元件时的情况。一种
5、可能是电阻较小， 电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电 磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以 形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零； 另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次 转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已 经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、 电流将直接衰减到零。,GLC并联电路与RLC串联电路为对偶电路， 其零输入响应可根据对偶原理对应求出。,6.2 二阶电路的零状态响应、全响应,6.2.1 RLC串联电路的零状态响应,二阶电路中动态元件的储能均为零，电路中的响应 仅由外施激励产生。,二阶电路的零状态响应,以 为电路的变量，根据VCR和KV
6、L，有,（6-24）,方程（6-24）为二阶线性常系数非齐次微分方程， 其解由两部分组成。,特解,通解,式（6-24）对应的齐次微分方程,方程（6-25）与方程（6-1）完全相同，其对应的 特征方程的根也有三种情况。齐次通解形式与零输 入响应相同，由此写出全解。,（6-25）,阻尼与欠阻尼两种情况，全解形式为,代入初始条件,解得：,临界阻尼情况，全解形式为,代入上述初始条件，解得：,1.过阻尼非振荡过程,零状态响应为,（6-26）,特征根的表达式与式（6-5）、（6-6）相同。,波形如图6-12所示，为非振荡充电过程。,2.欠阻尼振荡过程,零状态响应为,为振荡充电过程。,3.临界阻尼非振荡过程
7、,此情况下的充电过程也为非振荡过程。,6.2.2 RLC并联电路的零状态响应,根据KCL有,以 为待求变量，则有,为二阶线性非齐次常微分方程,GLC并联电路与RLC串联电路为对偶电路， 其零输入响应可根据对偶原理对应求出。,求解过程与二阶RLC串联电路零状态响应相同，,6.2.3 二阶电路的全响应,二阶电路的全响应,二阶电路在初始储能及外施激励作用下的的响应。,一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。,时开关S闭合，求开关闭合后电感中的 电流 。,解：选 为待求变量。开关S闭合前，电感中的 电流 具有初始储能；开关S闭合后，,直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。,（1）列出开关闭
8、合后的电路微分方程，列结点 KCL 方程有,将参数代入得,设电路全响应为,（2）根据 的稳态分量计算出特解为,（3）为确定通解，首先列出特征方程为,特征根为：,是一对共轭复根，所以换路后暂态过程的性质 为欠阻尼情况，即,（4）全响应为,代入初始条件,全响应为,6.3 二阶电路的阶跃响应与冲激响应,6.3.1 二阶电路的阶跃响应,二阶电路在阶跃激励下的零状态响应。,阶跃响应,二阶电路的阶跃响应的求取类似于二阶电路的 零状态响应的求取方法。,求解方法,求解的步骤,1计算电路的初始值：,、,或,、,2列写电路微分方程,根据KCL或KVL定理列写电路方程，将其整理为 有关电容电压或电感电流（状态变量）
9、的二阶微分方 程。,3.计算电路方程的特解,电路方程的特解为常数A ，将其代入微分方程中求出A。,4.计算电路方程的通解,为两个不相等的实数 、 时,为两个相等的实数 时,为两个共轭的复根 、 时,5计算电路的初始值 原电路方程的解即为通解与特解之和，再根据电路 的初始条件计算出各个待定系数。,三、响应曲线,图6.12给出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况下 电路响应的曲线，可以看出，三种情况下的稳态值 相同。,图6.12,衰减振荡（欠阻尼）与等幅振荡（零阻尼）情况下 的响应曲线示意图，如图6.13所示。,图6.13,6.3.2 二阶电路的冲激响应,在冲激激励作用下二阶电路所产生的零状态响应。,冲激响应,实际上是二阶电路在冲激源作用下，建立一个初 始状态后产生的零输入响应。电路如图6.14所示。,图6.14,解法,求出冲激激励所产生的电路初始值。,已知初始状态的二阶电路的零输入响应。,本章结束,
