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1、数 字 图 像 处 理 与 分 析 基 础,第五章 图像变换 Image Transforms,ISBN 7-5084-2930-3,新世纪电子信息与自动化系列课程改革教材,黄爱民 安向京 骆力,中国水利水电出版社,数字图像处理与分析基础,第五章 图像变换,概述和分类 离散Fourier变换 快速算法 其它可分离图像变换 Hotelling变换 作业,数字图像处理与分析基础,5.1概述和分类,图像变换图像转换到另一种空间处理，特有性质 图像处理和分析的数学基础,图像变换,可分离变换,统计变换,Fourier变换(DFT),DCT,WHT,ST,HT, Wavlet Transform,Hote
2、lling,数字图像处理与分析基础,5.2 离散Fourier变换,定义 性质 快速算法 应用,数字图像处理与分析基础,5.2.1 2DFT (Two Dimensions Fourier Transform）,相位谱：,R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部与虚部。,能量谱：,u,v- Frequency variable, |F(u,v)|- Fourier Spectrum,数字图像处理与分析基础,图5-2 Fourier基函数,数字图像处理与分析基础,例：DFT的计算,一维函数的四个采样值为f(0)=2, f(1)=3, f(2)=f(3)=4.,f(x)全部值对FT都产生
3、影响；反之，全部变换系数对反变换也产生影响。,数字图像处理与分析基础,数字图像处理与分析基础,5.2.2 付立叶变换的性质 Properties of the Fourier Transform,1. 付立叶频谱的显示 Fourier Spectrum Display： D(u,v)=log1+|F(u,v)| (5-5),2. 可分离性 Separable Product F(u,v)=1/Nxy f(x,y)exp- j2(ux+vy)/N (5-6) =1/N xexp- j2ux/N y f(x,y) exp- j2vy/N =1/N x F(x,v) exp- j2ux/N 其中F(
4、x,v)=N1/N y f(x,y) exp(- j2vy/N)。,数字图像处理与分析基础,Fourier变换的分离性,数字图像处理与分析基础,变换的基函数可分解：,数字图像处理与分析基础,3. The Shift Theorem,频移性 平移性,数字图像处理与分析基础,频移性,f(x,y)expj2(u0x+v0y)/NF(u-u0,v-v0) 当u0=v0=N/2时， expj2(u0x+v0y)/N=(-1)x+y ， 则 f(x,y) (-1)x+y F(u-N/2,v-N/2) 频谱原点移到中心 正向Fourier变换前需要进行数据处理,数字图像处理与分析基础,平移性,f(x-x0,
5、y-y0) F(u,v)exp- j2(u0x+v0y)/N. |F(u,v)expj2(ux0+vy0)/N|=|F(u,v)| 图像平移不影响频谱,数字图像处理与分析基础,数字图像处理与分析基础,4. 变换域的周期性 Periodicity: T=N, F(u,v)=F(u+N,v)=F(u,v+N)=F(u+mN,v+nN). 5. 对称共轭性 Conjugate Symmetry: F(u,v)=F*(-u,-v), |F(u,v)|=|F(-u,-v)|. 旋转Rotation: x=rcos, y=rsin, u=cos, v=sin. f(r, + 0) F(, + 0)，对连续
6、、离散均成立。,数字图像处理与分析基础,注意观察对应关系,数字图像处理与分析基础,图5-6 Jean Buptiste Joseph Fourier和他的付立叶变换,(a)输入图像 (b)幅值谱 (c)相位谱 (d)由幅值谱重构的图象 (e)由相位谱重构的图象,结论：相位谱可能具有更重要的应用,数字图像处理与分析基础,7. Rayleighs Theorem:,define energy= (-,+ ) |f(t)|2dt, then: (-,+ ) |f(t)|2dt= (-,+ ) |F(s)|2ds. Power: (-,+ ) f(x)g*(x)dx= (-,+ ) F(s)G(s)d
7、s,数字图像处理与分析基础,（1）相加性 Ff1(x,y)+f1 (x,y)=Ff1(x,y)+Ff2(x,y), Ff1 (x,y)f2 (x,y)!= Ff1 (x,y)Ff2 (x,y). （2）尺度变换 设a,b是两标量， af(x,y) aF(u,v), f(ax,by) 1/|ab|F(u/a,v/b).,The Addition Theorem and The Similarity Theorem,数字图像处理与分析基础,9. The Average,10. Laplacian,数字图像处理与分析基础,空域和频率域之间的关系 （1） The Convolution f(x)*g(
8、x)F(u)G(u), f(x)g(x)F(u)*G(u),11. The Convolution and Correlation Theorem,数字图像处理与分析基础,The Theorem ：离散信号f(x),A；g(x),B 扩展成周期函数fe(x), ge(x), ，MA+B-1,卷积定理的效能：点数32时，FFT方法较快。,数字图像处理与分析基础,Theorem：f(x,y)g(x,y) F(u,v)G*(u,v), f(x,y)g*(x,y) F(u,v) G(u,v), “*”表示复共轭。,（2） Correlation,数字图像处理与分析基础,5.2.3快速算法,（1）因子分
9、解：稀疏矩阵 （2）1D FFT算法：“逐次加倍”，“蝶形算法”,数字图像处理与分析基础,逐次加倍算法,数字图像处理与分析基础,数字图像处理与分析基础,逐次加倍FFT来源：两点变换由两个一点变换算出，四点变换由两个两点变换算出，对于N等于2的整数幂都成立。,图5-7 只要求一次复数乘法的简化蝶形图,运算量分析,数字图像处理与分析基础,数字图像处理与分析基础,同址计算，输出正常次序，输入倒位序，序数的二进制码。 (n2n1n1)-(n0n1n2), x0(000)=x(000), x0(001)=x(100), x0(010)=x(010), x0(011)=x(110), x0(100)=x(
10、001), x0(101)=x(101), x0(110)=x(011), x0(111)=x(111),偶数取样在上半部，奇数取样在下半部。 不断将离散付立叶变换分解成较小的离散付立叶变换造成序列x(n)倒位序。,数字图像处理与分析基础,5.2.4 要点小结,1、付立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间）域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一对应。 2、付立叶变换保持奇偶性。 3、函数和的付立叶变换等于它们分别变换再求和（加法定理）。 4、平移函数的原点将在Fourier谱中引入一个相位移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。,数字图像处理与分析
11、基础,5、两个函数的卷积对应于它们付立叶变换相乘（卷积定理）。 6、压缩一个函数会扩展它的付立叶变换，反之亦然（尺度变换定理）。 7、函数的能量同其付立叶变换谱的能量相等。 8、能量有限的输入信号可被分解为有限多个正余弦函数的和差。 9、旋转二维函数，它的付立叶变换也旋转相同的角度。 10、自相关函数的付立叶变换是能量谱。,数字图像处理与分析基础,5.3 线性变换,g(x,u)称为正变换核。 h(x,u)称为反变换核。 If g(x,y,u,v)=g1(x,u)g2(y,v), 则核可分离; If g1=g2, 则核加法对称。,数字图像处理与分析基础,分离性,所有具有可分离核的二维变换与离散F
12、ourier变换一样，可以分成两个一维变换分步进行。 沿着f(x,y)的每一行作一维变换，得到： 沿着T(x,v)的每一列作一维变换，得到,数字图像处理与分析基础,图像变换的矩阵表示,设f为数字图像f(x,y)的灰度值方阵，大小为NN，显然f是实数矩阵。实数矩阵总可以经过一系列初等变换，找到它的同型矩阵F，使得： F=PfQ 式中F、f是NN方阵， P、Q是NN的满秩方阵，且P、Q不唯一 。 由于P、Q满秩，它们有逆矩阵P-1、Q-1，分别用P-1左乘，右乘Q-1上式，得： f=P-1FQ-1 表明：数字图像可以从它的正交变换中完整地恢复。,数字图像处理与分析基础,图像变换的矩阵表达式与代数表
13、达式本质相同,数字图像处理与分析基础,如果g(x,y,u,v)可分离，则有T=AFAT； 设FN*N为图像, AN*N为变换矩阵, 其中aij=g1(i,j), TN*N为结果, 如果 A=AT, T=AFA, 存在反变换矩阵B，BTB=BAFAB， 数字图像可以从它的变换中完整地恢复 变换矩阵可分解成稀疏矩阵的乘积形式，由此构造快速算法-分解方法。,数字图像处理与分析基础,3、正交变换的本质,数字图像表示成矩阵的形式时，可以将图像变换看作若干个图像的加权和。如果将P、Q用列矢量表示,数字图像处理与分析基础,3、正交变换的本质,数字图像表示成矩阵的形式时，可以将图像变换看作若干个图像的加权和。
14、如果将P、Q用列矢量表示,数字图像处理与分析基础,5.4 正弦型变换,基函数为正-余弦波的正交变换 如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT） JPEG图像压缩标准的基本推荐算法。 离散正弦变换（ DST ） 离散哈特利（Hartley） 快速算法,数字图像处理与分析基础,5.4.1 DCT（次最优正交变换）,一维离散余弦变换的正变换核为：,，,。,数字图像处理与分析基础,反变换,一维DCT的反变换核与正变换核一致，即,反变换表示为：,一维余弦函数的基函数的图形与Fourier基函数类似,数字图像处理与分析基础,2D DCT,a(v)与a(u)定义类似。 DC
15、T的反变换核与正变换核一致：,数字图像处理与分析基础,2D DCT变换对,数字图像处理与分析基础,2D DCT基图像,图5.4.1 二维DCT基图像,数字图像处理与分析基础,性质,可分离性、对称性 快速算法 代数分解：蝶形图 矩阵分解：稀疏矩阵的积，不唯一,数字图像处理与分析基础,数字图像处理与分析基础,5.5 离散KL变换(Karhunen-Loeve)(DKT),Hotelling变换、特征向量变换(Eigenvector-Based Transform)、主分量变换。 利用图像的统计性质，统计模型。 应用 数据压缩 图形旋转,数字图像处理与分析基础,5.5.1 定义,图像f NN (x,y), 传输M次， 接收集合 fi(x,y),i=1,2,M 统计总体，通道特征、干扰性质。 采样图像：Xi=(xi1,xi2,xiN2)T, 按行或按列依次排列， 协方差矩阵 CX=E(X-Mx)(X-Mx)T, Mx为均值向量， Mx=EX，,近似表示：,数字图像处理与分析基础,令ei,i, i=1,2,N2分别表示矩阵的特征矢量与特征值，将i减序排列，1 i2N2, 构造变换矩阵：,K-L变换定义： Y=A(X-MX). Y为新产生的图像向量。,数字图像处理与分析基础,1）半正定矩阵的性质 CX实对称矩阵,5.4.2 Property,数字图像处理与分析基础,
