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1、第2章 控制系统的数学模型,2.1 微分方程,2.1.1 系统微分方程的建立,1电路系统数学模型,图2-1 直流电动机,【例2-1】建立如图2-1所示直流电动机的微分方程。 解:（1）由该电路图可知，该系统为电学系统（含电动机），遵循电学相关规律。 （2）确定该系统的电动机两端电压Ud为输入量，电动机转速n为输出量。 （3）根据各元件或环节所遵循的规律，列写各元件或环节的微分方程：,（2-1）,（2-2）,（2-3）,（2-4）,在以上各式中， Ud电枢电压； E电枢电动势； Rd电枢电阻； Ld电枢电感； Td电磁转矩； TL摩擦及负载转矩； 主磁通； CT转矩常数； CE电动势常数； n转
2、速； JG转动惯量。 对于该系统，主要分析电枢电压Ud对电动机转速n的影响，因此在该电学系统中，应以电枢电压Ud作为系统的输入量，电动机转速n作为系统的输出量，TL作为系统的扰动量。,（4）消去中间变量。由式（2-1）式（2-4）消去中间变量id、Td和E，并整理成标准形式，就可以得到电枢电压控制的直流电动机的微分方程为,式中，m电动机的机电时间常数，,d电枢回路的电磁时间常数，,由式（2-5）可知，电动机的转速不仅与电动机自身的固有参数m、d有关，还与电枢电压Ud、负载转矩TL以及负载转矩对时间的变化有关。 （5）标准化。若不考虑电动机负载的影响，则描述该系统输入与输出的微分方程为,（2-5
3、）,（2-6）,【例2-2】建立如图2-2所示滤波网络以U1为输入量、U2为输出量的微分方程。,图2-2 滤波网络,解：（1）该系统为电学系统，遵循电学系统的相关规律。 （2）确定该滤波网络系统的输入量为U1，输出量为U2，i1、i2为中间变量。 （3）由电工学知识中基尔霍夫定律，列写各环节或元件的方程为,（2-7）,（2-8）,（2-9）,返回例2-5,（4）由式（2-7）式（2-9）消去中间变量可得,（5）标准化。将与系统输出量有关的各项写在方程的左端，与系统输入量有关的各项写在方程的右端，并把有关参数用具有一定物理意义的量来表示，可得,式中，T1=R1C1R2C2，T2=R1C1R2C2
4、+R1C2为时间常数。,（2-10）,（2-11）,注意：对于由两个环节串联的系统，由于在相邻两个元件间存在着负载效应，即后一元件的存在影响前一元件的输出，所以如果只是独立地分别写出两个串联元件的运动方程，经过消去中间变量而得到运动方程，就会得出不正确的结论。因此在列写串联环节所构成的运动方程时，应该考虑负载效应的影响，不能直接将两个环节简单串联。,2机械力学系统数学模型,在实际的机械平移系统中，经常按集中参数建立系统的物理模型，然后进行性能分析。这种物理模型中有3个基本的无源元件：质量m、弹簧k、阻尼器f，由它们的组合可以构成各种机械平移系统，掌握好这3种元件的力学性质和作用，是分析这种系统
5、的基础。由这3类元件组成的系统存在以下3类阻碍运动的力。 （1）惯性力。惯性力是一种与质量有关的力，具有阻止启动和阻止停止运动的性质。按照牛顿第二定律可知，惯性力的大小等于质量乘以加速度，即,（2-12）,式中，a代表加速度，v代表速度，y代表位移。 （2）弹性力。弹性力是一种弹簧的弹性恢复力，其大小与其形变成正比，即,（2-13）,式中，k为弹簧刚度，在弹性力的表示式中是一个系数，属于系统的固有参数，其物理意义表示单位形变的恢复力。,（3）阻尼力。阻尼力是阻尼器中产生的粘性摩擦力，其大小与阻尼器中活塞与刚体的相对运动速度成正比，即,（2-14）,图2-3 弹簧质量阻尼器系统,式中，f是阻尼系
6、数，它是系统的固有参数，其物理意义表示单位速度的阻力。阻尼器本身不储存任何动能或势能，主要用来吸收系统能量，并转换成热能消耗掉。,【例2-3】弹簧质量阻尼器系统组成如图2-3所示，试列写以外力F(t)为输入量、质量m的位移y(t)为输出量的微分方程。,解：（1）确定系统的输入量为F(t)，输出量为y(t)，作 用于质量的力有弹性力Fk、粘性阻力Ff，均为中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且当无外力作用 时，系统处于平衡状态。 （3）按牛顿第二定律列写方程，同时写出输出变量与中间变量的关系式，即,（4）由式（2-15）式（2-17）消去中间变量可得,（2-15）,（2-16）,（2-1
7、7）,（2-18）,（5）标准化。整理方程得标准型,（2-19）,令， , ，则方程化为,，,（2-20）,因此，该标准型为二阶线性常系数微分方程。,图2-4 机械传动系统,【例2-4】设一个机械转动系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成，其原理图如图2-4所示，试列写以M为输入量，为输出量的系统运动方程。（J表示惯性负载的转动惯量，f 表示阻尼器的粘性摩擦系数，M表示外作用力矩，表示负载转动角速度）。,解：（1）该系统为机械转动系统。 （2）确定该系统的输入量为力矩M，输出量为。 （3）对于机械转动系统，牛顿定律可表示为如下形式,（2-21）,式中， 为作用于轴上的外力矩之和；为负载转动的角加速
8、度。,（2-22）,式中，M为外作用力矩，MB为阻尼器的粘性摩擦阻尼力矩，它和 成正比，即MB=f ，由此可得 , 即 。,（4）消去中间变量可得到,（2-23）,（5）标准化。将与系统输入量有关的各项写在方程的右端，与输出量有关的各项写在方程的左端，可得该系统的方程为,（2-24）,2.1.2 建立微分方程的步骤,根据以上列写微分方程的过程，建立系统微分方程的一般步骤可归纳为以下几步。 （1）根据系统的工作原理，分析系统由哪些部分组成以及各部分如何联系在一起组成闭环系统的。 （2）确定组成该系统的输入量、输出量及使用的中间变量。 （3）从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依
9、次列写各元件或环节的微分方程。 （4）将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，得到一个仅含有系统输入量与输出量的微分方程，即为整个系统的运动方程。 （5）标准化。将与系统输入量有关的各项放在等号右侧，与输出变量有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系统有关参数规划为具有一定物理意义的形式。,2.2 Laplace变换基础,2.2.1 拉氏变换的概念,若将实变量t的函数f(t)乘以指数函数est（其中s=+j，是一个复变数），再在0到之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换，可用符号Lf(t)表示。,（2-25）,上式称为拉氏变换的定义式。为了保证
10、式中等号右边的积分存在，f (t)应满足下列条件： （1）若t0，则f (t) = 0。 （2）若t0，则f (t)为分段连续。 （3）若t，则est较f (t)衰减得更快。 由于 是一个定积分，t将在新函数中消失。因此，F(s)只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数f (t)转化为复变量函数F(s)。 拉氏变换是一种单值变换，f (t)和F(s)之间具有一一对应的关系，通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。,2.2.2 常用函数的拉氏变换,实用中，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表就能够知道原函数的象函数或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照
11、表如表2-1所示。 表2-1 常用函数拉氏变换表,2.2.3 拉氏变换的基本定理,（1）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即 Lf1(t) + f2(t) = Lf1(t) + Lf2(t) = F1(s) + F2(s) （2-26） 函数放大K倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的K倍，即 LKf(t) = KF(s) （2-27） （2）微分定理。函数求导的拉氏变换等于函数拉氏变换乘以s的求导次幂（初始条件需为零），即当初始条件f(0)=0时，Lf (t)=sF(s)。 同理，若初始条件为 f(0) = f (0) = f (n1)(0) = 0 则 Lf (n)(t) =
12、 snF(s) （2-28） （3）积分定理。函数积分的拉氏变换等于函数拉氏变换除以s的积分次幂（初始条件需为零），即当初始条件 时， 。 同理，当初始条件为零时，则有,（2-29）,（4）初值定理。函数初始值（t0的数值），等于函数拉氏变换乘以s后的s的极限值，即,（2-30）,（5）终值定理。函数的稳态值（t的数值）等于函数拉氏变换乘以s后的s0的极限值，即,（2-31）,2.3 传 递 函 数,拉氏变换理论在现代科学技术各个领域中得到广泛的应用。在古典控制理论中，拉氏变换法可将实数域中的微分、积分运算变换为复数域内简单的代数运算。而且在变换过程中，还可以将初始条件的影响很容易地考虑进去。
13、同时，拉氏变换、反变换的运算可以查拉氏变换表，如表2-1所示，这将大大减少工作量。 传递函数是在拉氏变换法求解线性定常微分方程中引申出来的复数域数学模型，传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统的影响，是经典控制理论中的重要的数学模型。传递函数的概念只适用于线性定常系统或定常元件，传递函数全面反映线性定常系统内在的固有属性。,2.3.1 传递函数的定义,定义：在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数，用G(s)表示。 设线性定常系统由n阶线性微分方程描述，即 式中，c(t)是系统的输出量，r(t)是
14、系统的输入量，a0, a1, , an, b0, b1, b2, , bm是与系统结构参数有关的常系数，在零初始条件下，进行拉氏变换得的代数方程为 传递函数定义为,（2-32）,从数学变换关系上来看，传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换得到的。而拉氏变换是一种线性变换，只是将变量从实数t域变换到复数s域。因而它必然同微分方程式一样能表征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。同时，传递函数包含了微分方程式的所有系数。如果不产生分子、分母因子相消，则传递函数与微分方程所包含的信息量相同。事实上，传递函数的分母多项式就是微分方程左端的微分算符多项式，也就是它的特征多项式。方程中的动
15、态分量完全由特征方程决定。 下面举例说明传递函数的求取。,【例2-5】求取例2-2所示滤波网络的传递函数。,解：由式（2-11）已知描述滤波网络特性的运动方程式为,在零初始条件下对上式求取拉氏变换，可得 （2-33） 所以，由传递函数的定义可得,（2-34）,即为所求的滤波网络的传递函数G(s),（2-35）,2.3.2 传递函数的性质,由前面的分析过程可以看出，传递函数具有如下性质。 （1）传递函数描述既适用于元件，也适用于系统（开环或闭环系统）。它是描述其动态特性的一种关系式，与系统或元件的运动方程对应。 （2）传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统或元件。 （3）传递函数是通过复数形式来表征系统和元件的内在性质的工具，与外作用（即输入信号）无关。 （4）传递函数是从实际物理系统出发用数学方法抽象出来的，但是它不代表系统或元件的物理结构，许多物理性质不同的系统或元件可以具有相同的传递函数。 （5）传递函数是复变量S的有理分式，分母多项式的最高阶次n大于或等于分子多项式最高阶次m，即nm，这是因为实际系统或元件总具有惯性，以及能源有限所致。,（6）一个传递函数只能表示系统的一个输入量与一个输出量之间的关系。如果系统有多个输入量或多个输出量
