《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第6章二次型 6-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第6章二次型 6-3（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 正定二次型与正定矩阵,我们知道，一元二次函数f(x)=x2 在x=0 处取得最小值，这是由于对任意的实数 x=a 0，都有f(a) =a20,而 f(0)=0. 此例说明一元二次函数 的最小值问题与一元二次型 的性质密切相关. 一般情况下，n元函数的极值问题是否也与n元实二次型的性质有关？与n元实二次型的何种性质有关？本节就来研究这个问题.,定义6.5 n元实二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX称为正定的，如果对于 中任意的非零列向量 ，都有 . 例如，三元实二次型 是正定的. 而三元实二次型 , 则不是正定的. 这是因为：当 0时,有 . 三元实二次型： 也是不正定的. 由于对于
2、 ， ，有 . 观察以上三个例子，我们发现，当二次型的正惯性指数刚好等于变量的个数n时，二次型是正定的，而当正,正惯性指数小于变量的个数n时，二次型不是正定的. 由此，我们得出如下重要结论： 定理6.4 n元实二次型 正定的充分必要条件为它的正惯性指数等于n.(证明见课本) 从定理6.4可得如下推论： 推论6.3 n元实二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX是正定的 它的规范形为 它的标准形中n个系数全大于0. 定义6.6 实对称矩阵A称为正定的，如果实二次型 f(x1,x2,xn)=XTAX是正定的，,即对于 中任意非零向量 ，有 . 正定的实对称矩阵简称为正定矩阵. 从定义6.6，定理6
3、.4和推论6.3不难得到 定理6.5 n级实称矩阵A是正定的 A的正惯性指数等于n A合同与E A的合同标准形中，主对角元全大于0. 对于n级实对称矩阵A，能找到正交矩阵P，使得 PTAP为对角阵, 即 ，其中 是A的全部特征值，因此由定理6.5可得 推论6.4 n级实对称矩阵A是正定的当且仅当A的特征值全大于0.,由于实对称矩阵A正定当且仅当A合同与E，根据矩阵合同的对称性和可逆性得： 推论6.5 与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵. 由推论6.5又可得到 推论6.6 与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而可逆线性变换不改变二次型的正定性. 推论6.7 正定矩阵的行列式大于零. 证明
4、 设A为n级正定矩阵，则A合同与E，从而存在可逆矩阵C，使得 . 因此,反之，如果实对称矩阵A的行列式大于零，不能推出A一定是正定的. 例如 ,易知： . 但A的正惯性指数为0，因此A不是正定的. 为了从子式的角度研究实对称矩阵A是正定的条件，首先引入一下概念： 定义6.7 设 是一个n级矩阵，它的k个行标和列标相同的子式,称为A的一个 k阶主子式；A的下述主子式 称为A的 k阶顺序主子式. 例如：设 , 则A的顺序主子式有3个，分 别是|1|, , .,定理6.6 n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件为A的所有顺序主子式 都大于零.（证明见课本） 由于二次型 与它的对称矩阵A是一一对应的，由
5、定义6.6和定理6.6可得 定理6.7 实二次型 是正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式全大于零. 例6.8 判别下例二次型是否正定： 解： f(x1,x2,xn)的矩阵是,由于A的2阶顺序主子式 因此，由定理6.7知题目中的二次型 不正定. 例6.9 任一实可逆矩阵 C ， 都是正定矩阵. 证明 显然， 是对称矩阵，由于 , 且C可逆，因此， 合同与 E, 从而知 是正定矩阵.,实二次型除了有正定的以外，还有其他一些类型. 定义6.8 n元实二次型 XTAX称为半正定(负定，半负定)的, 如果对于 中的任一非零列向量 ，都有： 如果 既不是半正定的又不是半负定的，则称它是不定的. 定义6.9 实对称矩阵A称为半正定(负定，半负定，不定)的 ，如果实二次型XTAX 是半正定(负定，半负定，不定)的. 例6.10 判别下列三元实二次型属于哪些类型：,(1) , (2) , (3) , (4) , (5) 解 由定义6.8和定义6.9易知 (1)半正定；(2)半正定；(3)不定；(4)负定；(5)半负定. 例6.11 当 取何值时，以下的二次型 是正定的； 解 :二次型 的矩阵为 由于 以及,故当 时，二次型 正定.,
