线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第7章 线性空间与线性变换 第七章 线性空间与线性变换

《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第7章 线性空间与线性变换 第七章 线性空间与线性变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 教学课件 ppt 作者 谭福锦 黎进香第7章 线性空间与线性变换 第七章 线性空间与线性变换（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第七章 线性空间与线性变换,线性空间与线性变换是数学中最基本的概念之一. 它不仅是线性代数的核心内容, 而且它的理论和方法已经渗透到了自然科学、工程技术和经济管理等各个领域. 由于学时所限, 本章只介绍它的一些基本内容, 主要介绍线性空间的概念及其性质、基与维数, 线性变换的概念以及线性变换的矩阵表示.,第七章 线性空间与线性变换,第一节 线性空间的定义与性质 第二节 维数、基和坐标 第三节 线性变换及其矩阵表示,第一节 线性空间的定义与性质,一、线性空间的定义 为了便于理解线性空间的定义, 下面先介绍数域的概念. 我们在讨论数学问题时, 经常要强调数的取值范围, 比如讨论一元二次方程 的解时

2、, 如果忽略范围, 就容易得出此方程无解的结论. 其实正确的结论是此方程在实数范围内无解, 但在复数范围内有两个解：,可见考虑数的取值“范围”对解题的重要性. 把数的取值“范围”看做一个数集, 我们给具有下述两个性质的“数集”一个专称“数域”. 定义7. 1 设K是一个数集, 如果K满足： 0, 1K; 对于任意的a, b K, 都有a b , a b K, 且当b0时, 有 K, 则称K是一个数域.,数域K满足第(2)个条件可以说成：K对于加、减、乘、除四种运算封闭. 显然, 有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域, 分别称Q、R、C为有理数域、实数域、复数域, 这三个集合之间关系是：Q R

3、 C. 但是自然数集N和整数集Z都不是数域. 除了Q、R、C外还有很多的数域. 例如, 令 显然, 0=0+0 Q( ), 1=1+0 Q( ). 并且容易验证Q( )对于加、减、乘、除四种运算是封闭的, 所以Q( )是一个数域.,在空间解析几何中, 学习了三维向量及其一些运算. 在R3中, 首先学习了加法和数乘运算, 及对任意的x = (x1, x2, x3) R3 , y = (y1, y2, y3)R3, z = (z1, z2, z3)R3及任意的 , R3. 它们具有如下性质： x+y=y+x； (x+y)+z=x+(y+z); R3中有一个零向量0=(0, 0, 0), 使得x+0

4、=x ; 对任一 xR3 , 都有一个向量 -xR3 , 使得x+(-x)=0 ; 1 x=x ; (x)= ()x ； ( +)x= x+x ； (x+y)= x+ y .,不仅如此, 对于实数域上的所有n元有序数组R n, 实数域上的所有mn矩阵的集合R mn等, 尽管其中元素不同但它们在运算上都是有上述八个共同的性质. 我们由上述例子的共同之处：给定一个集合, 一个数域, 定义两种运算(加法与数量乘法), 且要求这两种运算满足八条运算法则这个观点出发, 抽象出线性空间的概念.,定义7.2 设V 是一个非空集合, K是一个数域. 如果有一个规则, 使得对V中任意两个元素, , 在V中都有唯

5、一的元素与之对应, 则称其为与的和, 记为=+. 即在V中定义了加法运算. 还有一个规则, 使得对于K中任意一个数与V中任意元素, 在V中都有唯一的元素与之对应, 则称为与的数量乘积. 记为=. 即定义了V中的数乘运算, 并且这两种运算满足如下8条规律：对任意的, , V, 任意的 , , K, 有 +=+； (加法交换律) (+)+=+(+)； (加法结合律),V中有一个元素记作0, 它使得+0=(具有这个性质的元素0称为V的零元素)； 对于V, 存在V, 使得+=0(具有这个元素的称为的负元素)； 1=； ()= () ； (数乘结合律) (+)=+； (+)=+； 其中(7)、(8)称为

6、数乘分配律. 则称集合V是数域K上的一个线性空间或向量空间, V中的元素常称为向量, V中的零元素常称为零向量. 数域K上的线性空间V记为VK. V中所定义的加法和数乘运算统称为V的线性运算.,下面举一些线性空间的例子. 例7. 1 数域K上的n个有序数组组成的集合记为K . 即：Kn=x=(x1, x2, , xn) xi(i=1, 2, , n) K, 对于通常的向量的加法和数乘运算构成了数域K上的线性空间, 而在前面的若干章节中, 用的多是Rn . 例7. 2 数域K上所有的mn矩阵的集合 即：Rmn=A=(aij) mn aij K, 对于通常的向量的加法和数乘运算构成了数域K上的线性

7、空间, 而在前面的若干章节中, 用的多是Rmn .,例7. 3 闭区间a, b上的全体实连续函数, 对于通常的函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域上的线性空间, 记为Ca, b. 在开区间(a, b)内有k阶连续导数的实函数C k (a, b)对同样的加法和数乘运算也构成实线性空间. 例7. 4 数域K上所有n个有序数组的集合 Kn=x=(x1, x2, , xn) xi(i=1, 2, , n) K, 对于通常的向量加法及如下定义的数乘运算 (x1, x2, , xn) = (0, 0, , 0) 不构成一个线性空间. 这是由于 1 (x1, x2, , xn) = (0, 0, , 0)

8、 (x1, x2, , xn) .,二 线性空间的性质 设V是数域K上的任一线性空间. 1. V中的零元素是唯一的. 证明 假设o1, o2 , 是线性空间V的两个零元素, 则对任意的 V, 有 + o1 =；+ o2 =. 因为 o1, o2 V, 所以 o1 + o2 = o1 , o1 + o2 = o2 + o1 = o2 , 故 o1 = o2 .,V中的每个元素的负元素都是唯一的. 证明 假设1 , 2都是的负元素, 则, (1 +) + 2 =(+ 1)+2 = 0+ 1 = 2 + 0 = 2 1 +( + 2)= 1 + 0 = 1. 由加法结合律得 1 = 2. 今后把的唯

9、一负元素记为. 利用负元素, 可以在V中定义减法如下： 对于, V, = +().,00； (1)-； 00. 证明 (1) 因010(10)1, 故00； (2) 因 (1) 1(1)1(1) 00, 故 (1) = ； (3) 0 = +() = () = () = 0 = 0.,证明 假设 0, 则 () = 0 = 0, 又 () = ( ) = , 于是 = 0. 同理可证：若 0, 则有 = 0.,若 = 0, 则 = 0或 = 0.,三 线性子空间 定义7. 3 设V是数域K上的线性空间, W是V的非空子集. 如果W对于V上所定义的加法和数乘运算, 也构成数域K上的线性空间, 则

10、称W是V的线性子空间. 简称子空间. 显然, 0是V上的一个子空间. 称它为V的零子空间, 也记为0；而V也是V的一个子空间, 0和V称为V的平凡子空间, 其余的子空间称为非平凡子空间. 由线性空间的定义, 不难获得上述非空子集W为V的子空间的充要条件.,定理7. 1 设W是数域K上的线性空间V的非空子集, 则W是V的线性子空间的充要条件是W对于V的加法和数量乘法都封闭. 即： (1) 若, W, 则 W； (2) 若 W, K, 则 W.,证明 必要性. 由定义7.1直接得出. 以下证明充分性. 由已知条件得, V的加法与数量乘法都是W的运算, 由于V是线性空间, 因此W的加法满足交换律、结

11、合律；数量乘法满足定义7. 2中的(5)(6)(7)(8)这四条法则. 由于W是非空集, 因此有wW. 由已知条件得0 wW. 因此, (1) = , 从而 W. 于是在V中的负元素 也是在W中的负元素. 综上所述, 知W是K上的一个线性空间, 从而W是V的一个子空间.,例7.5 数域K上所有次数小于n的一元多项式组成的组合记为Knx, 证明Knx是Kx的一个子空间. 证明 显然Knx为非空集, 由于两个次数小于n的一元多项式的和的次数仍小于n, 而任一数k与一个次数小于n的一元多项式的乘积的次数仍小于n, 因此Knx对于多项式的加法与数量乘法都封闭, 从而Knx是Kx的一个子空间.,第二节

12、维数、基和坐标,一、维数、基和坐标 在讨论n维向量组时用到了线性表示, 线性相关和线性无关等概念, 这些概念都可以推广到线性空间中, 由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也同样成立.,定义7.4 在线性空间V中, 若存在一组向量 1, 2, , n满足： (1) 1, 2, , n线性无关； (2) V中任一向量总可以由 1, 2, , n线性表示, 则称 1, 2, , n为V的一组基. V的基所含的向量个数n称为V的维数, 记为dimV = n . 维数为n的线性空间称为n维线性空间. 记为Vn .,值得一提的是, 线性空间V的维数是唯一的, 但基一般不是唯一的. 事实上, 可取V中任意

13、一个极大的线性无关向量组组成它的一组基. 特别地, n维线性空间中任意n个线性无关的向量都可作为它的一组基. 只含零向量的线性空间的维数为0. 如果W是V的子空间, 则有: dimWdimV.,例7.6 Rn的维数为n, 这是由于 ei = (0, 00, 1, 00) Rn (i = 1, 2, 3, , n)(ei的第i个分量是1, 其余的均为0且容易验证向量组e 1, e2 , , en线性无关, 而对 xR , 有 x = (x1, x2, , xn ) = x1e1+x2e2+ +xnen , 即Rn的任一向量x均可由e 1, e2 , , en线性表示. 因此, e 1, e2 ,

14、 , en是Rn的一组基. 且有dim(Rn) = n.,例7.7 Knx的维数是n. 这是由于： 1, x, x2, , xn-1 均属于Knx. 且若有等式 k11+k2 x+k3x2+ +knxn-1 0 对任意的x 均成立, 必有ki0 (i = 1, 2, 3, , n).从而知 1, x, x2, , xn-1是线性无关的. 又由于对数域K上任意次数小于n的一元多项式, 都可表示为： f(x) = a11+a2 x+a3x2+ +anxn-1 , 说明Knx中任一元素均可由1, x, x2, , xn-1线性表示. 因此1, x, x2, , xn-1是Knx的一组基, 其维数为n.,例7.8 证明： 线性空间R22中的元素 是R22的一组基. 证明 首先证明E11, E12, E21, E22线性无关. 若有实数k1, k2, k3, k4使得 即,则必有 k1= k2 = k3 = k4 = 0 . 因此 E11, E12, E21, E22线性无关. 并且对R22中的任一元素A = (aij) 22有 即A可由 E11, E12, E21, E22线性表示. 因此 E11, E12, E21, E22是R22的一组基, 其维数为4.,定义7.5 设1, 2 , , n 是线性空间V 的一组基. 若对 V , 有且仅有一组数 x1,