《经济应用数学 上 教学课件 ppt 作者 李秋莎 32642-第6章定积分及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济应用数学 上 教学课件 ppt 作者 李秋莎 32642-第6章定积分及其应用（109页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 定积分及其应用,6.1 定积分的概念,本节将由两个实际问题引出定积分的 定义,并给出定积分的性质。,6.1.1 引例,引例1(曲边梯形的面积) 设函数y=f(x) 在闭区间a,b上连续,且非负。 曲线y=f(x)与直线x =a,x =b,y =0围成的 图形曲边梯形,如图6-1所示,求其面积。,解 此问题的难点在于梯形的高f(x)是 不断变化的,但由f(x)的连续性可知,在很小 的区间上其值波动也很微小,可近似为某个 常值,因此,可用矩形面积近似小曲边梯形的 面积。,(2)近似求和,(3)取极限,引例2(变速直线运动的距离) 设物体作 变速直线运动,其速度v=v(t)是时间t 的连续
2、函数,计算这物体从时刻t0 到时刻t1 经过的 路程S。,解 由于速度连续变化,在很短的时段 t 内,v(t)变化很小,因此,在该时段内可以 看作匀速直线运动。 (1)无限细分区间,(2)近似求和,(3)两边取极限,变化和不变在宏观上是两个对立的问 题,但是在微观上又可以相互转化。 这种辩证的哲学思维在以上两例中体 现为:以直代曲和匀速代变速。 以上两个例子虽然属于不同领域,但解 决问题的方法是一样的。 把这种解决问题的方法抽象出来可得 到定积分的概念。,6.1.2 定积分的定义,(2) 0必有n ,反之不成立。 (3)定积分是一种用微观方法解决宏 观问题的思想,以后要学习的多元函数积 分(曲
3、线积分、曲面积分)的定义和定积 分的定义模式相同。,它们都是:任意无限细分区域D ,在每个 小区域上任取一点作该点函数值与该区域 测度的乘积并求积分和。,若不论区域分法和点的取法,当每个区 域的测度都趋向零时,积分和都收敛到一个 确定的常数I,则称I 为被积函数在D 的积分。 若D 为区间,则该积分称为定积分;若D 为平面区域,则该积分称为二重积分。,关于定积分的存在性我们给出下列两 个充分条件。,6.1.3 定积分的性质,为了计算方便我们约定:,6.2 微积分基本公式,上节中我们用定义和几何意义计算了 两个简单的定积分,但是对于大部分的积分 我们都需要借助牛顿莱布尼兹公式计算。,6.2.1
4、变上限积分及其导数,同理,我们可以定义变下限积分,即,6.2.2 牛顿莱布尼茨公式,公式(6-1)称为牛顿莱布尼茨公式,也 叫微积分基本公式。 该公式表明:一个连续函数在区间a,b 上的定积分,等于该函数的任一个原函数在 区间a,b上的增量。 牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分和 不定积分之间的关系,大大简化了定积分的 计算,从而使定积分在各个学科得到广泛的 应用。,注 由F(x)=f(x),可知f(x)表示F(x)在x 时刻的变化速度,变化速度在时间上的积累 产生了变化量。 (定积分的实质是无穷和的极限,本身表 示一种积累。),6.3 定积分的换元积分法和分部积分法,由微积分基本定理可知,定积分的
5、计算 主要决定于相应的不定积分的算法。 因此,不定积分的换元法和分部积分法 也有相应的应用。 为了简化计算,我们特别给出了针对定 积分的换元法和分部积分法。,6.3.1 定积分的换元积分法,6.3.2 定积分的分部积分法,对应于不定积分的分部积分法,有如下 定理(定积分分部积分公式)。,6.4 定积分的应用,本节将介绍把实际问题转化为定积分 的方法,以及定积分在几何学和经济学中的 简单应用。,6.4.1 微元法,微元法是把实际问题转化为定积分的 重要方法。 下面我们以求曲边梯形的面积为例介 绍这种方法。 在引例中,求连续曲线y=f(x)(f(x)0) 与x=a,x=b,y=0围成曲边梯形的面积
6、S 的做 法可简述如下。,(1)无限细分区间,将a,b任意分成n 个小区间,任取一小 区间x,x +dx,如图6-5所示,用s 表示在该 区间上小曲边梯形的面积,则S =s,(2)近似求和,我们在区间x,x +dx上,用以f(x)为高,dx 为底的小矩形的面积近似小曲边梯形的面 积,即s f(x)dx由于它们的差为x 的高 阶无穷小,可把ds=f(x)dx 看做s 的微分,称 dS 为面积微元。 则 S =si dS =f(x)dx,(3)取极限,由连续函数的性质可证明,当每个区间 长度都趋向0时,S =f(x)dx 相差一个无穷小。 因此,两边取极限相等,即 把上述方法抽象出来,得到对于一般
7、问题 的微元法。,6.4.2 平面图形的面积,对于一般平面图形的面积,我们分以下 几种情况讨论。 以下所涉及的函数都为连续函数。,6.4.3 旋转体的体积,1. 已知切面面积物体的体积 如图6-12所示,空间几何体放到坐标平面 上长度横跨区间a,b,过任一点x 且垂直于x 轴的平面切得几何体的切面面积为S(x),S(x) 知且为连续函数,求几何体的体积。,我们用微元法来推导该几何体的体积 公式。 设体积为V,任取一小区间x,x +dx,对 应于该区间的体积部分量为V。 由于S(x)连续,当dx 很小时,S(x)在区间 x,x+dx上的变化也很小。,因此,可以用以S(x)为底,dx 为高的柱体
8、的体积近似V,找到体积微元dV,即 V S(x)dx =dV,由微元法可知几何体的体积 即体积等于切面面积的定积分。,2. 旋转体的体积,旋转体的切面面积一般容易得到,因此, 旋转体的体积是上一部分讨论问题的特例。 我们分以下几种类型讨论。,(1)X型区域绕x 轴一周,y=f(x)(f(x)0) ,x=a,x=b,x 轴所围区域 绕x 轴一周所得旋转体(见图6-13)的体积。,由于在任一点x 处的切面是以f(x)为 半径的圆,所以切面面积为,该旋转体的体积为,进一步y=f1(x),y=f2(x)(f1(x)f2(x)0) , x=a,x=b所围区域(见图6-14)绕x 轴一周形 成的旋转体的体积为,(2)Y型区域绕y 轴一周,例4 求半径为r 的球的体积。 解 图6-16所示为半径为r 的半圆区域 ,绕x 轴一周恰好形成半径为r 的球。 由对称性知,球的体积等于第一象限阴 影区域绕x 轴一周体积的2倍,即,6.4.4 定积分在经济学中的应用,我们通常用定积分的方法,来解决经济 学中已知边际求总量的问题。 对于一般问题,已知某一经济总量F(x) 的边际函数为F(x),由牛顿莱布尼茨公 式可知,关于常见实际问题,我们有如下结论。 (1)已知某产品在时刻t 的总产量的 变化率为Q (t),则从时刻t1 到时刻t2 的 总产量为,
