《离散数学 教学课件 ppt 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu5n》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学 教学课件 ppt 作者 赵一鸣 阚海斌 吴永辉 dshu5n（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、引理13.1：如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。 分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射. 证明:定义映射:HHg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.,引理13.2：H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: 或Hg1=Hg2,或Hg1Hg2=。 证明:利用等价类的性质. 例：设H;是群G;的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得.,三、拉格朗日定理,定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集
2、数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明存在ST的双射。 定义13.14：H为G的子群,关于H的所有不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 E;+是Z;+的子群，E在Z中指数？,定理13.17：G为有限群,H为其子群, 则H的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在G中的指数k。 例：设a为有限群G;*的元素，则a的阶整除|G|。 推论13.8：G为有限群，阶为素数p，则G;*是循环群。,四、正规子群,定义13.15：H为群G的子群,当对任意的gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称为不变子群。 例：任意Abel群的子群
3、都是正规子群。 三次对称群S3=e,1, 2, 3, 4, 5的所有非平凡子群是: H1=e, 1; H2=e, 2; H3=e, 3; H4=e, 4, 5。其中只有H4是正规子群,(1)H为正规子群，则应对G中每个元素g都有Hg=gH (2)正规子群的前提要求是H为子群。 (3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。 (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在hH ，使得hg=gh。,定理13.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。 设G=(x; y)|x,yR，x 0, 在G上定义二元运算如下： (x, y)(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。H=(1,y)|yR 证明 (H; )是群(G;) 的正规子群。,作业 P172 27,28,29,30,31 下次介绍商群，群同态基本定理。,
