《概率论与数理统计-电子教案-李云龙 第10章 用MATLAB解决概率问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-电子教案-李云龙 第10章 用MATLAB解决概率问题（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、MATLAB是一种功能强大、运算效率极高的数值计算软件。最初，它是一种专门用于矩阵运算的软件，经过多年发展，MATLAB已经成为一种功能强大的软件，几乎可以解决科学计算中的任何问题。本章将利用Matlab来解决概 率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等问题。,第10章 用Matlab解决概率问题,数据分析 离散型随机变量的概率及概率分布 连续型随机变量的概率及其分布 数字特征 二维随机向量的数字特征 统计直方图 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析,10.2、离散型随机变量的概率及概率分布,(1)分布律 二项分布的概率值 格式 binopdf(k,n,p) 说明 n:试验总次
2、数；p:每次试验事件A发生的概 率；k: 事件A发生k次。 泊松分布的概率值 格式 poisspdf(k,lambda) 说明 k: 事件A发生k次; lambda:参数 超几何分布的概率值 格式 hygpdf(K,N,M,n) 说明 K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n: 抽取总数.,(2)累积概率值(随机变量XK的概率之和) 二项分布的累积概率值 格式 binocdf(k,n,p) 说明 n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概率；k: 事件A发生k次。 泊松分布的累积概率值 格式 poisscdf(k,lambda) 说明 k: 事件A发生k次; lambda:参数 超几何分
3、布的累积概率值 格式 hygcdf(K,N,M,n) 说明 K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n: 抽取总数.,应用举例,例1 某机床出次品的概率为0.01,求生产1000件产品中：（1）恰有一件次品的概率；（2）至少有一件次品的概率。 解：此问可看作是1000次独立重复试验，每次试验出次品 的概率为0.01，恰有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入： p=binopdf(1,1000,0.01) 显示结果为： p=0.3681 （2）至少有一件次品的概率, 在Matlab命令窗口键入： p=1-binocdf(1,1000,0.01) 显示结果为：p =0.6323,例2 自
4、1875年到1955年中的某63年间，某城市夏季（5-9月间）共发生暴雨160次，试求在一个夏季中发生k次（k=0,1,2,8）暴雨的概率 （设每次暴雨以1天计算）。 解：一年夏天共有天数为 n=31+30+31+31+30=153 故可知夏天每天发生暴雨的概率约为 很小，n=153较大，可用泊松分布近似。,应用举例,10.3 连续型随机变量的概率及其分布,(1)概率密度函数值 利用专用函数计算概率密度函数值，如下表。,应用举例,例5 计算正态分布N（0，1）下的在点0.6633的值。 在Matlab命令窗口键入： normpdf(0.6633,0,1) 回车后显示结果为： ans = 0.3
5、202,举例应用,例6 绘制卡方分布密度函数在n分别等于5，5，20时的图形 程序： x=0:0.1:30; y1=chi2pdf(x,5); plot(x,y1,:) hold on %保留当前图形 y2=chi2pdf(x,15); plot(x,y2,+) y3=chi2pdf(x,20); plot(x,y3,o) axis(0,30,0,0.2) %控制图形在坐标轴上的范围 xlabel(图2-1) %给轴标注“图2-1”,结果为下图,(2)分布函数,利用专用函数计算累积概率函数值，即 常用专用函数如下表。,应用举例,例7 某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来一班车。若某乘客在7
6、：00到7：30间任何时刻到达此站是等可能的，试求他候车的时间不到5分钟的概率。 解：设乘客7点过X分钟到达此站，则X在0，30内服从均匀分布，当且仅当他在时间间隔（7：10，7：15）或（7：25，7：30）内到达车站时，候车时间不到5分钟。故其概率为：P1=P10 format rat p1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30); p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30); p=p1+p2 则结果显示为：p=1/3,应用举例,例9 设随机变量X的概率密度为 确定常数c; 求X落在区间（-1/2，1/2）内的概率； 求X的分布函数
7、F（x）,程序（1）： syms c x px=c/sqrt(1-x.2); Fx=int(px,x,-1,1) 则结果显示如下：Fx=pi*c 由pi*c=1得 c=1/pi 程序（2）： syms x c=1/pi; px=c/sqrt(1-x.2); format p1=int(px,x,-1/2,1/2) 则结果显示如下： p1=1/3,程序(3) syms x t c=1/pi; px=c/sqrt(1-t.2); format Fx=int(px,t,-1,x) 则结果显示如下： Fx =1/2*(2*asin(x)+pi)/pi 所以X的分布函数为：,逆累积概率值,已知 ，求x。
8、x为临界值， 常用临界值如表,应用举例,例13 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过2%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（168，7），求车门的最低高度。 解：设h为车门高度，X为身高，求满足条件由已知，PX=x=0.02 ,即PX norminv(0.98,168,7) ans = 182.3762 所以至少为182.4厘米,应用举例,例 14 设二维随机变量（X，Y）的联合密度为： 求（1）P0 syms x y f=exp(-x-y); P_XY=int(int(f,y,0,1),x,0,1) P_G=int(int(f,y,0,1-x),x,0,1) 运
9、行结果显示如下： P_XY= exp(-2)-2*exp(-1)+1 P_G= -2*exp(-1)+1,10.4 数字特征,(1)数学期望 离散型随机变量X的期望计算 求和函数：sum(X) 说明： 若X为向量，则sum（X）为X中的各元素之和，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列元素之和，返回一个行向量。 求均值函数：mean(X) 说明： 若X为向量，则sum（X）为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值；若X为矩阵，则sum（X）为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量,例16 随机抽取6个滚珠测得直径（mm）如下： 11.70 12.21 11.90 11.91 12
10、.32 12.32 试求样本平均值。 程序： X=11.70 12.21 11.90 11.91 12.32 12.32; mean(X) 则结果显示如下： ans=12.0600,应用举例,连续型随机变量的期望,应用举例 例 17 已知随机变量X的概率 求EX和E(4X-1)。,程序： 解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0817.m： syms x p_x=3*x2; EX=int(x*p_x,0,1) EY=int(4*x-1)*p_x,0,1) 运行结果为： EX = 3/4 EY = 2,(2) 方差,离散型随机变量的方差及样本方差 方差 设X的分布律为 由 则方差 DX=sum
11、(X.2*P)-(EX).2 标准差：,应用举例,例19 设随机变量X的分布律为：,求D（X），D（X2-1）。 程序： X=-2 -1 0 1 2; p=0.3 0.1 0.2 0.1 0.3; EX=sum(X.*p), Y=X.2-1 EY=sum(Y.*p) DX=sum(X.2.*p)-EX.2 DY=sum(Y.2.*p)-EY.2 运行后结果显示如下： EX =0 Y = 3 0 -1 0 3 EY =1.6000 DX =2.6000 DY = 3.0400,连续型随机变量的方差 利用 求解。 例21 设X的概率密度为： 求DX，D（2X+1） 解：,程序： syms x px
12、=1./(pi*sqrt(1-x.2); EX=int(x*px,-1,1) Dx=int(x.2.*px,-1,1) y=2*x+1; EY=int(y.*px,-1,1) DY=int(y.2.*px,-1,1)-EY.2 运行结果显示如下： EX=0 DX=1/2 EY=1 DY=2,（3） 常用分布的期望与方差求法,在统计工具箱中，用stat结尾的函数可以计算给定参数的某种分布的均值和方差。,应用举例,例24 求参数为6的泊松分布的期望和方差。 程序： M,V=poisstat(6) 则结果显示如下： M=6 V=6,10.5 二维随机变量的数字特征,(1)期望 根据二维随机变量期望的
13、定义构造函数计算。下面分别就离散和连续的情况举例说明。 应用举例 例4.1 设（X，Y）的联合分布为 Z=X-Y，求EZ。,程序： X=-1 2; Y=-1 1 2; for i=1:2 for j=1:3 Z(i,j)=X(i)-Y(j); end end P=5/20 2/20 6/20;3/20 3/20 1/20; EZ=sum(sum(Z.*P) %将Z与P对应相乘相加 运行结果显示如下： EZ=-0.5000,应用举例,例26 射击试验中，在靶平面建立以靶心为原点的直角坐标系，设X，Y分别为弹着点的横坐标和纵坐标，它们相互独立且均服从N(0,1)，求弹着点到靶心距离的均值。 解：设
14、弹着点到靶心距离为 ， 则求EZ。 联合概率密度： 期望为：,程序： syms x y r t pxy=1/(2*pi)*exp(-1/2*(x.2+y.2); EZ=int(int(r*1/(2*pi)*exp(-1/2*r.2)*r,r,0,+inf),t,0,2*pi) 运行结果： EZ = 1/2*2(1/2)*pi(1/2) 即,（2）协方差,Matlab提供了求协方差的函数： cov(X) X为向量时，返回此向量的方差；X为矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵 cov(X，Y) %返回X与Y的协方差，X与Y同维数 cov(X，0) %返回X的样本协方差，置前因子为1/（n-1） cov(
15、X，1) %返回X的协方差，置前因子为1/n,应用举例,例 27 设(X,Y)的联合概率密度为： 求DX，DY和 解：,程序： syms x y pxy=1/8*(x+y); EX=int(int(x*pxy,y,0,2),0,2) EY=int(int(y*pxy,x,0,2),0,2) EXX=int(int(x2*pxy,y,0,2),0,2) EYY=int(int(y2*pxy,x,0,2),0,2) EXY=int(int(x*y*pxy,x,0,2),0,2) DX=EXX-EX2 DY=EYY-EY2 DXY=EXY-EX*EY,运行结果显示如下： EX=7/6 EY=7/6 EXX=5/3 EYY=5/3 EXY=4/3 DX=11/36 DY=11/36 DXY=-1/36,例 29 求一个随机矩阵的协方差。 在命令窗口键入 d=rand(2,4) 则结果为 d = 0.9501 0.6068 0.8913 0.4565 0.2311 0.4860 0.7621 0.0185 cov1=cov(d) cov1 = 0.2585 0.0434 0.0464 0.1574 0.0434 0.0073 0.0078 0.0265 0.0464 0.0078 0.0083 0.0283 0.1574 0.0265 0.0283 0.0959,（3）相关系数
