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1、第八章,电路分析基础 沈元隆 刘 陈,第8章 耦合电感和变压器电路分析 8.1 耦合电感 8.2 耦合电感的联接及去耦等效 8.3 空芯变压器 8.4 理想变压器和全耦合变压器 8.5 含理想变压器电路的分析计算 8.6 一般变压器的电路模型 习题,8 耦合电感和变压器电路分析,前几章已学过的无源元件有：R、L、C。 R： 耗能、静态、无记忆； L、C：储能、动态、有记忆； 它们都是二端元件。本章介绍两种四端元件:,1.耦合电感：具有电感的特性； 2.理想变压器：是静态、无记忆,但不耗能。 受控源也是四端元件，它与将要介绍的耦合电感均属耦合元件。,8.1 耦合电感,耦合电感：指多个线圈(这里先
2、介绍两个线圈)相互之间存在磁场的联系。它是耦合线圈的理想化模型。 复习：单个线圈(电感、或称自感)的VCR。：,磁链=匝数乘磁通： 自感=磁链比电流： 若u、i 方向关联， 由电磁感应定律：,8.1.1 耦合电感的伏安关系,设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。,其中 表示线圈1电流在本线圈中产生的磁链，称为自感磁链；类此有 ； 表示线圈2的线圈电流在线圈1中产生的磁链，称为互感磁链，类此有 。,若线圈2改变绕向，则自磁链与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一线圈的总磁链有两种可能，分别表示为：,图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致；,式中， ，称为自感
3、系数， 单位亨(利)H。,式中， ，称为互感系数， 单位亨(利)H。,若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电压，若电压与电流采取关联参考方向。耦合电感伏安关系(VCR)表达式为,式中， 为自感电压 互感电压，取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性) 耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2 和 M 。,8.1.2 耦合电感的同名端,耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否一致，不仅与线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不便画出，故引入同名端的概念。 1.顾名思义,指绕法相同的一对端钮；,a b
4、a、b是同名端,2.起的作用相同的一对端钮； 当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时，各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。,或者说，(1)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使磁场加强的一对端钮； (2)同名端就是当电流分别流入线圈时，能使电压增加的一对端钮； (3)产生自感电压与互感电压极性相同的一对端钮。 同名端用标志 . 或 * 等表示。 注意：同名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有时必需两两标出。 在VCR中， ，到底取正还是取负，要根据电流参考方向和同名端来确定：,当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号，不一致时取负号。或者说，根据同名端，电流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另一
5、个线圈中产生的互感电压极性是相同的。,耦合电感的电路符号：,VCR中互感电压取+ VCR中互感电压取 (当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两种可能。),在绕法无法知道的情况下，同名端的测定： (1)直流法,根据其VCR，得,原图电源改为正弦电源，开关移去，直流电压表改为交流电压表，bd端连接。 根据其VCR的相量形式同样能判定其同名端。,(2)交流法,根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。其规则：,第一步：总认为电压、电流方向关联(假设电压或电流的参考方向)，这时，自感电压总是正的,互感电压总是同一符号；,第二步：按要求(消去假设的变量)改变相应互感电
6、压和自感电压的符号。 当两线圈的电流、电压参考方向已经时，也可以画成含受控源的相应耦合电感的电路模型。 耦合电感的相量(模型)形式为,称为自感阻抗,称为互感阻抗,据此也可画出相应的相量模型图。,8.1.3 耦合电感的储能,无源元件,也可以用其VCR和上式代入下式来验证：,8.2 耦合电感的联接及去耦等效,常见的耦合电感的联接方式： 串联，并联和三端联接,去耦等效： 耦合电感用无耦合的等效电路去等效。,8.2.1 耦合电感的串联,顺串：异名端相接； 反串：同名端相接。,+ u -,在图示参考方向下，耦合电感的伏安关系为： (下面推导中，顺串取+，反串取),顺串等效:,反串等效:,由耦合电感为储能
7、公式,得：,互感系数不大于自感系数的算术平均数。,8.2.2 耦合电感的并联,同侧并联:(顺并)同名端两两相接。 异侧并联:(反并)异名端两两相接。,图示电压，电流参考方向下，由耦合电感的伏安关系：,得,互感系数不大于自感系数的。几何平均数。,定义：耦合系数,k=1 全耦合, 紧耦合， k较小，松耦合， k=0无耦合。,得,8.2.3 耦合电感的三端联接,将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。(1)同名端相联； (2)异名端相联。,(1) 同名端相联,(2) 异名端相联,8.3 空芯变压器,变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来传输能量或信号的器件。通常有两个线圈。与电源
8、相接的为初级(原边)线圈，与负载相接的为次级(副边)线圈。 习惯上，线圈绕在铁芯上，构成铁芯变压器，芯子是非铁磁材料，构成空芯变压器。铁芯变压器一般耦合系数接近1，属紧耦合，用于输配电设备，空芯变压器耦合系数一般较小，属松耦合，用于高频电路和测量仪器。,必须指出：空芯变压器的分析是以互感的VCR作为基础；铁芯变压器的分析是以理想变压器作为基础。是两种不同的分析方法。没有严格的限制，这两种方法可以统一。,求解空芯变压器 法1：列写回路方程 法2：初、次级等效电路法 这是在列写回路方程法的基础上的总结。设初、次级回路阻抗分别为,从初级线圈两端看入的等效阻抗(初级输入阻抗)为,其中：,称为次级回路对
9、初级回路的反映阻抗或引入阻抗。,它反映了次级回路通过磁耦合对初级回路的影响。 据此，可作为初级等效回路，很方便地求出初级回路电 流。而次级回路的电流为,若 ，相当于次级未接： ，即 次级对初级无影响； 若 ,当 k=1，线圈绕组近似为零时，,即次级短路相当于(近似于)初级短路。,初级等效电路,本法步骤: (1)先求输入阻抗； (2)求初级电流(与同名端无关)； (3)求次级电流(与同名端有关)。 法3：空芯变压器电路也可用去耦等效电路来分析。,反映阻抗特点： (1)与同名端无关； (2)反映阻抗改变了次级阻抗的性质。,法4：戴维南等效电路 当需求负载可变化求取获得最大功率时常用此法。,注意：
10、次级开路电压与同名端有关。,其中内阻抗：,次级开路时初级回路的电流：,次级开路电压：,8.4 理想变压器和全耦合变压器 8.4.1理想变压器的伏安关系 理想变压器也是一种耦合元件，它是实际变压器在理想化条件下的电路模型。理想变压器唯一的参数是一个称之为变比（transformation ratio）的常数n，而不是 L1、L2 和M 等参数。理想变压器的伏安关系为,或,变压器可以看成是耦合电感在满足下述3个理想化条件的极限情况： 1耦合电感无损耗，即线圈是理想的； 2耦合系数k=1，即全耦合；,3自感系数L1和L2均为无限大，且L1/ L2等于常数，互感系数M也为无限大。 下面先从符合前两个理
11、想化条件的全耦合变压器着手推导理想变压器的电压、电流关系。得,式中，1122称为主磁通，主磁通的变化在初、次级线圈分别产生感应电压为,故得,该式表示无损耗全耦合变压器的初、次级电压比等于初、次级线圈的匝数比(turn ratio),即变比 n 。 耦合电感伏安关系为,由上述第一式，从 到t积分，则有,由于,且由于k=1，代入1121 ，2212 ，因此有,可表示为,由于u1为有限值，若 ,即满足理想化的第3个条件时，得,或,即得理想变压器的伏安关系。且吸收功率为零。显然理想变压器只起着传递能量的作用。,理想变压器的伏安关系的相量形式 为,或,8.4.2 全耦合变压器的电路模型 一个实际变压器要
12、完全满足上述3个理想化条件是十分困难的。一般来说，一个线圈损耗忽略不计；耦合系数k1；但自感系数为有限值的全耦合变压器更接近实际的铁芯变压器。在电路分析中，全耦合变压器除了可以用耦合电感来表征其特性外,还可以用含理想变压器的电路模型来等效。,显然，耦合线圈中两个参数L1和L2与含理想变压器模 型中两个参数L1和n之间有 。,8.5 含理想变压器电路的分析计算 在全耦合变压器的等效电路中，L1也可以理解为外接电感，故本节也包括含全耦合变压器电路分析计算。 8.5.1 理想变压器的阻抗变换 由理想变压器VCR可知除了能以n倍的关系变换电压、电流外；还具有以n2倍的关系变换阻抗的性质。故变压器也称为
13、变量器。结论为：原来并接于次级的阻抗 可等效搬移成与初级并接的阻抗 。原来串接于初级的阻抗Z1 可等效搬移成与次级串接的阻抗 。,利用上述两种方法，初次级的阻抗可以来回搬移。从次级搬移到初级时阻抗要乘n2;反之，从初级搬移到次级时阻抗要除n2；且串、并联关系保持不变。 应该指出，阻抗来回搬移与同名端无关；而电源来回搬移则与同名端有关。这样做的结果能使电路得到简化。 在电路分析中，有时会遇到一个初级线圈与多个次级构成的理想变压器。例如理想变压器就是由一个初级线圈和两个次级线圈组成，设初级线圈匝数为N1，两个次级线圈的匝数分别为N2和N3。结论是：两个次级阻抗可以先后一个一个地搬移到初级去。 从第
14、七章可知，正弦稳态电路中，负载阻抗必须与电源内阻抗达到共轭匹配时，负载才能获得最大功率。但实际电路中，负载往往和电源一样也是给定的，并非任意可调。在这种情况下，为了使负载获得尽可能大的功率，可通过理想变压器来实现匹配。其中理想变压器的匝比是可调的，利用理想变压器的阻抗变换，将负载阻抗搬移到初级。由于利用,理想变压器进行阻抗变换时，阻抗的实部和虚部是以相同的比例变化的，所以实际上是负载阻抗的阻抗角不变，仅改变了负载阻抗的模。一般无法达到共轭匹配。若设变换后的等效负载阻抗为,可以证明当 时，负载可获得最大功率，因为此时不是共轭匹配，所以这时负载中电阻获得的功率一般比达到共轭匹配时的功率小。由于这种
15、匹配是取负载阻抗的模与电源阻抗的模相等，故称为模匹配。,8.5.2 含理想变压器电路的一般分析方法 当含理想变压器电路无法用上述搬移的方法进行化简时，根据KCL、KVL和VCR,列写网络方程或应用戴维南等效电路也是常用的分析计算方法。,8.6 一般变压器的电路模型 一般变压器除了可以用耦合电感或空芯变压器的分析方法外，也可以用含有理想变压器的等效电路来作为其电路模型。一般变压器的初、次级电感不会是无限大，且耦合系数k也小于1。也就是说，它们的磁通除了互磁通外还有漏磁通，漏磁通所对应的电感称为漏感。分别用初级漏感 和次级漏感 来表示。去除初、次级漏感外余下的部分可理解为是一个全耦合变压器，再采用含有理想变压器的全耦合变压器模型就形成了下图所示的电路。,+,由耦合电感 VCR，和理想变压器的VCR，可得,通常取,时：,最后，必须指出，从严格意义上来说，由于铁磁材料B-H曲线的非线性，铁芯变压器的耦合电感模型一般是非线性的，不能按线性电路的方法来分析、计算。但是，如果采用含理想变压器的模型，情况就会有所不同。由于漏磁通很小，且主要是通过空气的，所以漏感基本上是线性的；磁化电感虽然是非线性的，但由于电感量很大，且并联在电路中，流过的电流很小，影响不大。因此，上述变压器模型基本上是线性的，可近似地按线性电路的方法来分析、计算。,当然，还有要考虑线圈绕阻、匝间电容等更一般的变压器电路模型。,
