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1、高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第6章 常微分方程,主要内容: 一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶的微分方程 四、二阶常系数线性微分方程,一、微分方程的基本概念,解,解,定义2,定义1,由上两例，得如下相关定义：,定义4,定义3,定义5,注意：,通解不一定包含所有特解，因为有奇解,定义6,定义7,定义8,解,例1,即：,二、一阶微分方程,1、可分离变量的微分方程,先看一个实例：,形式：,解法：两边积分,特点：,因为：,反之，,注意：,解,例2,解,即：,故所求特解为：,例3,解,例4,如：,可化为：,2、齐次方程,得其解法为：,由齐次方程的形式：,思路：,解,
2、例5,3、可化为齐次方程的微分方程,解,例6,定义,4、一阶线性微分方程,其解法为：,解,例7,三、可降阶的微分方程,1、右端仅含x的方程,对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为 n-1阶方程：,同理可得：,依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(1) 的含有n个任意常数的通解。,微分方程,解,例8,2、右端不显含y的方程,其特点：,解法：,微分方程,解,例9,3、右端不显含x的方程,微分方程,其特点：,解法：,这是一阶微分方程，可解,解,例10,四、二阶常系数线性微分方程,1、线性方程解的结构,定理6.1,证明,即：,理解,如：,问题：,线性相关性：,如：,定理6.2,如：,定理6.3,证明,如：,定理6.4,证明（略）,2、二阶常系数线性齐次微分方程,分三种情形讨论：,A.,B.,如何求得第二个特解呢？,由于,C.,综上所述,即：,解,例12,解,例11,例13,解,3、二阶常系数线性非齐次微分方程,，则：,情形1：,综上，,例14,解,例15,解,其中：,其中,例16,解,
