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1、高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第5章 多元函数微积分,主要内容: 一、空间几何简介 二、多元函数 三、偏导数与全微分 四、多元复合函数与隐函数求导法则 五、多元函数极值 六、二重积分,一、空间几何简介,1、空间直角坐标系,规定：,通常：,规定：,另外,如下图：,坐标面xOy,坐标面yOz,坐标面zOx,点的坐标,反之，,（+，+，+） （-，+，+） （-，-，+） （+，-，+）,（+，+，-） （+，-，+） （-，-，-） （+，-，-）,规律：,2、空间任意两点间的距离,定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间 任意两点间的距离.,由图：,根据平面上两点间的距离 公
2、式可知：,从而有：,此即为空间任意两点间的距离公式.,证明：,例1,解,例2,定义：,3、曲面与方程,化简得：,可以证明，所有空间平面都可以用三元一 次方程表示； 反过来，任何一个三元一次方程的图形都 是空间的一个平面。 由此称三元一次方程：,为平面的一般式方程。,几种常见的曲面方程：,1）球面方程：,2）椭圆柱面：,3）椭圆抛物面：,4）圆锥面：,5）双曲抛物面：,6）双曲柱面：,7）抛物柱面：,二、多元函数,1、多元函数的概念,自变量的取值称为定义域； 对应的函数值的集合称为值域。,类似地，,由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与 二元函数完全相似，所以，在此主要研究二元函数。 并先
3、介绍一些相关概念。,区域：由平面上一条曲线或多条曲线围成的 一部分平面称为区域.,边界：围成区域的曲线称为边界.,邻域：,内点：若点 p 的某个邻域内的点都属于区域 D， 则称点 p 为区域 D 的内点.,外点：若点 p 的某个邻域内的点都不属于区域 D ，则称点 p 为区域 D 的外点.,边界点：若点 p 的任一个邻域内的点，既有属 于区域 D 的点，又有不属于区域 D 的 点，则称点 p 为区域 D 的边界点.,闭区域：由所有内点和以闭曲线为边界的所有 边界点组成的区域称为闭区域.,开区域：只有内点组成的区域称为开区域.,例4,解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式：,即：,所
4、以，其定义域D为：,例5,解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足 不等式组：,所以，其定义域D为：,例6,解：,二元函数的几何意义：,2、二元函数的极限与连续性,1）二元函数的极限,1）上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推 广，所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广 到二元函数.,注意,3）上述极限定义不能用以求二元函数的极限，但可以 用该定义判定二元函数的极限不存在，即：只要有两条 路径极限不同，该函数极限就不存在.,求,例7,解：一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化 的方法，该方法也适用于二元函数求极限的运算。,例8,（待续）,（续）,2）二元函数的连续性,二元连续函数也
5、具有一元连续函数的相同性质， 如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函 数；多元初等函数在其定义域内是连续函数等。 因此，要求多元初等函数在其定义域内任一点处 的极限值，只需要求出函数在该点的函数值即可。,求极限,例9,解：,三、偏导数与全微分,1、偏导数,计算方法：,一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元,函数求偏导数。,显然，,解,例10,（待续）,法二,（续）,解,例11,注意,解,例12,几何意义,注意,因为：,可导与连续的关系：,又如：,如：,定义：,2、高偏导数,解,例13,例14,解：,定理5.1：,对于更多元或更高阶仍然成立.,由上例，两个混合偏导数虽然求导次序不同， 其结
6、果却相等，但是并非在所有情况下这个结 论都成立。 关于混合偏导数，有以下定理：,证明,例15,全增量：,3、全微分,解,例17,解,例16,例18,解,应用全微分进行近似计算：,(1),(2),(3),这三个是常用的近似计算公式.,解,例19,四、多元复合函数与隐函数求导法则,定理,1、多元复合函数求导法则链法则,有：,同理,推广,注意,答：,练习,答：,练习：,答：,练习：,注意,解,例20,解,例21,解,例22,解,例23,续,解,例24,续,全微分形式的不变性,即：,解,例25,多元隐函数求偏导数与一元函数求导数方法 类似，其实质都是应用复合函数的求导法则。,2、多元隐函数求导方法,的
7、偏导数,例26,下面通过实例来求多元隐函数的偏导数。,所以,同理可得,例27,的偏导数,所以：,同理可得：,五、多元函数极值,函数的极值对于许多实际问题有着重要的意义， 在一元函数微分学中，用导数来求函数的极值。 现在将借助于偏导数来讨论多元函数的极值问题。 由于三元以上的多元函数的极值与二元函数类似， 为此只讨论二元函数的极值问题。,1、极值,类似地，,证明,定理5.3,定理5.4,(充分条件),从上述定理得求极值的步骤：,解,例28,续,解,例28,续,解题的步骤和判定的方法,注意：,2、最值,解,例29,续,引例,曲顶柱体的体积,六、二重积分,、分割（化整为零）,、取近似（不变代变）,、求和（积零为整）,、取极限（无限逼近）,定义5.10,即：,理解,几何意义：,二重积分的性质：,二重积分的计算：,若,如图：,由定积分的定义知，其面积为：,同理,积分过程：,X 型区域,Y 型区域,由此可知：,既X又Y 型区域,非X非Y 型区域,若,注意,解法一，将其视为X型区域,例30,解法二，将其视为Y型区域,解，如图,例31,续,续,复杂,解 如图,例32,
