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1、高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第3章 不定积分,主要内容: 一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用,1、原函数的定义,如：,又如：,一、不定积分的概念与性质,注意：,注意：,2、不定积分的定义,理解,计算方法：,不定积分的几何意义：,一个原函数对应于一条积分曲线； 不定积分对应于积分曲线簇 无穷多条积分曲线 被积函数对应于切线的斜率 同一横坐标处切线平行,解：,例1,例2,解：,解：,例3,3、不定积分的性质,即：,4、基本积分表,由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公式，不难得到基本初等函数的积分公式。,解：,例4,答：,练习：,解：
2、,例5,例6,解：,经验之一：,整理为“多项式”形式是解决只含有幂 函数的积分方法之一,解：,例7,例8,解：,经验之二：,当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。,解：,例9,例10,解：,经验之三：,化有理式函数为“整式+真分式”是 一种必然的方法。,解：,例11,例12,解：,解：,例13,经验之四：,化弦、降次、利用恒等式是解决 三角函数积分的有效方法。,利用上节学过的内容我们无法计算该积分；,这类积分我们要用换元积分法。,换元积分法是把复合函数的微分法反过来， 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。,通常分为两类： 第一换元积分法和第二换元积分法,二、换元积分法,引
3、问：,（一）第一换元积分法（凑微分法）,即：,注意,定理3.3,应用方法：,第一换元积分法的关键是： 通过引入中间变量 ，把被积表达式 凑成某个函数的微分，然后利用基本积分公式 求出结果，所以又称为凑微分法。,解：,例14,例15,解：,结论：,例16,例17,解：,解：,只要含有指数函数，就应当想法能否使 微分因子成为其指数。,经验：,解：,例18,方法的实质：,即：凑成的积分变量为复合函数的中间变量，使得凑出的结果：,A. 可利用积分公式，,B. 与原来的式子相等,凑,解：,类似地：,例19,解：,例20,类似地，可以得到：,解：,因式分解,例21,解：,当分母为不同类型的函数的乘积， 看
4、看可否分离一部分到微分因子中。,经验：,例22,解：,经验：,当被积函数为三角函数的奇次方时，我们常分离出其中一个，放在微分因子中。,例23,解：,例24,解：,例25,解：,例26,解：,降次总是一种求三角函数积分的有效方法。,经验：,例27,解：,例28,解：,经验：,利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一,例29,解：,例30,解：,例31,（二）第二换元积分法,但必须满足：,证明:,定理3.4（第二换元积分法）,根式代换法,例32,解：,例33,解：,（待续）,此时，为了计算其它三角函数值，可以借助辅助三角形（如右）。,续,解：,（待续）,例34,续,解：,（待续）,由上例可知,被积函
5、数定义域为：xa或xa的情形,例35,续,三角代换法,思考x-a的情形,原式,辅助三角形,代换,其它函数值,倒代换法,解：,例36,对形如以下四种类型的积分采用倒代换法,解：,对数代换法,例37,解：,反三角代换法,例38,补 充 公 式,例39,例40,例41,例39,解：,例40,解：,例41,解：,例42,倒代换后利用补充公式：,解：,原式,三、分部积分法,称之为分部积分公式。,例43,分析：,解：,同理：,例43,结论：,解：,例44,例45,解：,幂函数与指数函数、正余弦函数乘积 的积分，若用分部积分法，则,类型,一般地，,练习：,答：,解：,例46,类型,一般地：,解：,例47,解：,例48,一般地：,类型,解：,例49,练习题：,1、,2、,3、,4、,解：,返回,练习,解：,返回,练习,解：,返回,练习,解：,返回,练习,四、积分表的使用,通过前面的讨论，可以看出积分运算要比导数 运算复杂，为了使用方便，把常用的一些不定 积分公式汇集成表，称为积分表。 积分表按照被积函数的类型排列于书后附录中。 求不定积分时，可根据被积函数的类型直接或 经过简单变形后，在表内查得其结果。,1、直接查表,例50 查表求,例51 查表求,例52 查表求,2、先代换后查表,例53 查表求,（待续）,（续）,3、用递推公式,例54 查表求,例55 查表求,
