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1、第二章 简单期权的连续时间模型定价,金融衍生产品（derivatives），顾名思义就是由一些基础的标的资产所衍生出来的金融产品，其价值由基础标的资产的价值所决定。 衍生品市场在最近的几十年才经历了较大程度的跨越式发展，市场规模不断扩大，市场参与者的范围也不断扩展。 对于任何一个金融从业者或者对金融感兴趣的人士而言，衍生品市场是一个充满魅力和诱惑力的市场。可以说，衍生品市场是最具有创新性的市场，金融创新很重要的一个方面就体现为衍生产品的不断推陈出新。 在整个金融市场中，衍生品市场占据着非常重要的地位，扮演着十分重要的角色，是组成金融市场不可或缺的一部分。,衍生品的作用包括： （1）风险管理 利
2、用衍生品进行风险对冲和风险转移是最常见的风险管理手段。 （2）价格发现 由于衍生品的价格变化建立在标的资产价格变化的基础之上，并且衍生品市场通常有较高的流动性和市场参与度，因此利用衍生品的价格可以更好的估计标的资产的价格。 （3）运营优势 衍生品市场的交易成本通常较低，杠杆交易，具有更高的流动性，同时衍生品市场还能让投资者更容易完成卖空交易。 （4）市场有效 由于衍生品市场具有以上所述的优势，因此可以加快套利交易的发生和价格调整的速度，从而可以消除套利机会的存在，实现市场有效性。,2.1 远期,2.1.1 远期合约的概念,远期合约（forward contract）是买卖双方签订的在未来某个约
3、定的交易时刻以约定的价格和数量交易某项资产的协议。其中购买标的资产的一方称为远期合约的多头（long），出售标的资产的一方称为远期合约的空头（short）。 对交易双方而言，远期合约是一种义务，要求双方必须履行合约，否则便是违约，这是远期与期权的重要区别；远期合约通常在场外交易，合约内容由交易双方协商决定，属于非标准化的合约，这是远期与期货的重要区别。,2.1 远期,2.1.2 远期合约的定价,（1）基本假设与符号 市场不存在摩擦，即没有交易成本，没有保证金，没有卖空限制； 市场是完全竞争的； 不存在违约风险和套利机会，没有税收； 市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好； 所有市场参与者能够以
4、无风险利率进行借贷。 记无风险利率为r，合约期限为T，远期合约价格为F，远期合约的价值为f，签订合约时标的资产现货价格为S，合约到期前支付现金收益的现值为I。,2.1 远期,2.1.2 远期合约的定价,（2）无红利收益资产的远期合约价格和价值 根据无套利定价原则，远期合约的价格必须等于合约标的资产现货价格的终值，即 ，否则便存在套利机会。 假设 ，即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息 ，从而实现 的
5、无风险利润。 若 ，则投资者可以反向操作，获得 的无风险利润。 因此远期合约的价格为,2.1 远期,2.1.2 远期合约的定价,考虑以下两个资产组合： 组合A：一份远期合约多头和一笔数额为 的现金； 组合B：一单位标的资产。 在合约期末T时刻，组合A的价值为一单位的标的资产，恰好等于组合B的价值，根据无套利定价的原则，在期初两个组合的价值应该相等，即 ，从而远期合约多头的价值为,2.1 远期,2.1.2 远期合约的定价,（3）支付已知现金收益资产的远期合约价格和价值 同前述无红利收益资产远期价格类似，支付已知现金收益资产的远期合约价格满足 ，否则便存在套利机会。 假设 ，套利者可以按无风险利率
6、r借入S现金，期限为T。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，同时获得资产持有期间现金流的终值 ，归还借款本息 ，从而实现 的无风险利润。 若 ，则投资者可以反向操作，获得 的无风险利润。 因此远期合约的价格为,2.1 远期,考虑投资组合A和组合B： 组合A：一份远期合约多头加数额为 的现金； 组合B：一单位标的资产多头和期限为从现在到现金派发日、价格为I的无风险债券空头。 在T时刻，组合A的价值为一单位标的资产，组合B的价值也为一单位标的资产，根据无套利定价的原则，在期初组合A和组合B价值应该相等，即
7、 ，从而支付已知现金收益资产的远期合约多头的价值为,2.1.2 远期合约的定价,2.2 期货,2.2.1 期货合约的概念,期货合约（future contract）也是指买卖双方约定在未来某个时刻以约定的价格交易一定数量某项资产的协议。 一般而言，期货交易可分为商品期货和金融期货。商品期货包括各种金属、农产品、能源等，如铜期货、原油期货和大豆期货等；金融期货包括利率期货、外汇期货、股票期货和股指期货等。,2.2 期货,2.2.2 期货价格与现货价格的关系,正常情况下，现货价格应该低于期货价格，近期月份合约价格应该低于远期月份合约价格，这样的市场被称作正向市场。 特殊情况下，现货价格会高于期货价
8、格，或者近期月份合约价格高于远期月份合约价格，称作反向市场，又称逆向市场。 但不论是在正向市场还是反向市场，随着到期日的临近，期货价格都会与现货价格相一致。,2.2 期货,2.2.3 期货价格与远期价格的关系,当利率是常数，且对所有到期日都不变时，交割日相同的期货合约的价格与远期价格是相等的。 当标的资产价格与利率正相关时，期货的价格会高于远期价格；当标的资产的价格与利率负相关时，期货的价格一般会低于远期价格。这是因为期货交易实行当日结算，可当日取得收益进行再投资，以更高的利率进行投资；而当资产发生损失时，则可以较低的利率借钱补缴保证金。,2.2 期货,2.2.4 期货合约的定价,（1）无现金
9、流资产的期货合约定价： 考虑以下两个组合： 组合A：t时刻持有一份期货合约，合约规定在期末T可以按价格K购买一单位标的资产，此时将现金 存入银行，或进行无风险投资； 组合B：持有一单位标的资产，该资产t时刻的价格为S。 两个组合在期末都会获得一单位标的资产，根据无套利定价原理，两个组合的初始价值即在t时刻的价值必须相等。 设该期货合约的价值为f，则有： 整理可得：,2.2 期货,2.2.4 期货合约的定价,（2）有现金流资产的期货合约定价 考虑以下两个组合： 组合A：t时刻持有一份期货合约，合约价值为f，合约规定在期末T可以按照价格K购买一单位标的资产；将现金 存入银行，或者进行无风险投资；
10、组合B：持有一单位标的资产，该资产在未来会派发一定的现金红利，红利现值为I；卖空一单位债券，价格为I，到期日为标的资产现金收益派发日。 期末T时刻，组合A的价值和组合B的价值相等，则由无套利定价原理可知，在t时刻，组合A和组合B的价值必相等，则有： 可得：,2.2 期货,2.2.5 期货套期保值,（1）空头套期保值 现在签订一份期货合约的空头，锁定未来出售的价格，从而消除未来资产价格下跌的风险，达到套期保值的目的。 （2）多头套期保值 买入期货合约来锁定未来购买该资产的价格，从而消除资产价格上涨的风险，达到套期保值的目的。 （3）滚动套期保值 通过将期货合约平仓、再持有交割日晚些的期货合约的相
11、同头寸、再平仓、再买入交割日晚些的合约，如此反复向前滚动，最终达到套期保值的目的。,2.3 互换,2.3.1 互换的概念,互换（swap）也称作掉期，交易双方签订一份合约，合约规定双方将来定期交换现金流或资产。 互换需要规定一个开始日期，一个终止日期以及一系列的支付日期。支付发生的日期称作结算日（settlement date），两个结算日之间的时期称作结算期（settlement period）。 每个互换合约通常还要规定名义本金（notional principal），之所以称为“名义”是因为实际交换现金流时，并不需要交换本金，本金只是用来计算交换现金流的基础。 互换通常可以分为利率互换（
12、interest rate swap）、货币互换（currency swap）、股权互换（equity swap）和商品互换（commodity swap）。,2.3 互换,2.3.2 利率互换,利率互换是以利率作为标的资产的互换协议，最常见的形式是固定利率和浮动利率的交换，即交易双方商定一方支付按照浮动利率计算的利息，而另一方则要支付按照固定利率计算的利息，按照差额结算。,2.3 互换,2.3.2 利率互换,固定利率与浮动利率的互换结算金额 其中N为名义本金， 为浮动利率， 为固定利率，T是约定期限。 签订一张支付浮动利率，收取固定利率的互换合约，相当于买入一个固定利率债券，并同时卖出一张付
13、浮动利率债券的组合。则利率互换合约的价值为 互换合约在签订的时候是一个公平合约，即价值为零。,2.3 互换,2.3.3 货币互换,常见的货币互换涉及以一种货币表示的本金和利息与以另一种货币表示的本金和利息的交换，通常在互换开始和结束时会交换本金，两种货币的本金额是按照互换开始时的汇率折算确定的。,2.3 互换,2.3.3 货币互换,常见的货币互换涉及以一种货币表示的本金和利息与以另一种货币表示的本金和利息的交换，通常在互换开始和结束时会交换本金，两种货币的本金额是按照互换开始时的汇率折算确定的。 货币互换与利率互换的区别在于： 货币互换存在本金互换，利率互换只是利息互换； 货币互换有汇兑风险；
14、 货币互换实际支付全部金额，而利率互换实行现金差额结算。,2.3 互换,2.3.3 货币互换,签订一个货币互换合约，支付本国货币，收取外国货币，相当于拥有一个买入一个外国债券，并同时卖出一个本国债券的组合。货币互换合约的价值即： 是国外债券的价值， 是国内债券的价格，s是直接标价法下的汇率。,2.3 互换,2.3.4 其它互换类金融产品,（1）股权互换（equity swap） 在股权互换中，一方承诺按某一股票指数回报率或几只股票的加权平均报酬率进行支付，另一方承诺按某一固定或浮动利率来支付。股权互换使得投资者可以对无投资权限的市场进行投资或者在不买卖股票的条件下增减对某一指数的风险敞口暴露。
15、 （2）商品互换（commodity swap） 商品互换通常被大宗商品交易商用来进行风险管理，其名义本金并不是一定的资金，而是某种商品。,2.4 期权,2.4.1 期权的概念,期权（option）合约赋予期权买方在未来某一时刻或一段时间内以特定价格购买或出售一定数量的某种资产的权利，有权买入资产的期权称为看涨期权（call option），有权卖出资产的期权称为看跌期权（put option）。,2.4 期权,2.4.1 期权的概念,一份期权合约涉及到如下一些基本概念或术语： 购买期权合约的一方称为多头（long） 出售期权合约的一方称为空头（short） 多头支付给空头的费用称为期权费（o
16、ption premium），也就是期权的价格 执行期权时所交易的资产称为标的资产（underlying assets）合约中所规定的购买或出售资产的固定价格为执行价格（exercise price）或敲定价格（strike price） 合约中所规定的期限为到期日（maturity date） 合约中约定的可执行该期权的时刻称为执行日（exercise date）,2.4 期权,2.4.1 期权的概念,根据执行日的不同，可以将期权分为几类： 欧式期权（European option）：只能在到期日执行的期权 美式期权（American option）：可以在有效期内任何时候执行的期权 百慕大期权（Bermuda option）：可以在到期日前特定的一系列执行日执行的期权,2.4 期权,
