《均值不等式的证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《均值不等式的证明（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式一般地，假设a1，a2，an为n个非负实数，他们的算术平均值记为 An=a1+a2+ann,几何平均值记为Gn=(a1a2an)1n=na1a2an.算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。a1+a2+annna
2、1a2an即 AnGn，当且仅当a1=a2=an时，等号成立。上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1） 当n=2时，已知结论成立。（2） 假设对n=k（正整数k2）时命题成立，即对ai0，i=1,2，k，有a1+a2+akkka1a2ak。那么，当n=k+1时，由于Ak+1=a1+a2+ak+1k+1，Gk+1=k+1a1a2ak+1,关于a1，a2，ak+1是对称的，任意对调a
3、i与ajij，Ak+1和Gk+1的值不改变，因此不妨设 a1=mina1，a2，ak+1，ak+1=maxa1，a2，ak+1显然a1Ak+1ak+1，以及（a1-Ak+1）（ak+1-Ak+1）0，i=1,2，k，有a1+a2+akkka1a2ak。那么，当n=k+1时，由于a1+a2+ak+ak+1=a1+a2+ak+ak+1+Gk+1+Gk+1+Gk+1-k-1Gk+1kka1a2ak+kkak+1Gk+1k-1-k-1Gk+12kka1a2akkak+1Gk+1k-1-k-1Gk+1=2k2kGk+1k-1Gk+1k+1-k-1Gk+1从而，有Ak+1Gk+1证法三（利用排序不等式）设
4、两个实数组a1，a2，an和b1，b2，bn满足a1a2an；b1b2bn，则 a1b1+a2b2+anbn （同序乘积之和） a1bj1+a2bj2+anbjn（乱序乘积之和） a1bn+a2bn-1+anb1（反序乘积之和）其中j1，j2，jn是1,2，n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是a1=a2=an或b1=b2=bn成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设10，20，1+2=1， 则对 x1，x20有x11x221x1+2x2 等号成立的充分必要条件是x1=x2。琴生不等式（Jensen）设y=fx，x（a，b）为上凸（或下凸）函数，则对任
5、意xia，b（i=1,2，n），我们都有1fx1+2fx2+nfxnf1x1+2x2+nxn或1fx1+2fx2+nfxnf1x1+2x2+nxn其中i0i=1,2，n i=1ni=1习题一1. 设a，bR+,1a+1b=1.求证：对一切正整数n，有（a+b）n-an-bn22n-2n+12. 设a，b，cR+，求证（1+1a）（1+1b）（1+1c）2（1+a+b+c3abc）3. 设x1，x2，x3为正实数，证明：x2x1+x3x2+x1x3（x2x1）2+（x2x3）2+（x3x1）24. 设a，b，cR+，a+b+c=1，求证：1+a（1+b）（1+c）8（1-a）（1-b）（1-c）
6、5. 设a，b，cR+，a2+b2+c2=1，求证abc+bca+cab36. 设x，y，zR+，且xyz,求证：x2yz+y2zx+z2xyx2+y2+z27. 设a，b，c，d是非负实数，满足ab+bc+cd+da=1，求证：a3b+c+d+b3a+c+d+c3b+a+d+d3a+b+c138. 设n为给定的自然数，n3，对于n个给定的实数a1，a2，an；记ai-aj（1ijn）的最小值为m，求在a12+a22+an2=1的条件下，m的最大值。均值不等式及其证明（百度文库）2012年3月3日星期六下午14：18用均值不等式证明用均值不等式求最值1注意均值不等式使用的条件是否具备2求和的最值需使积为定值求积的最值需使和为定值3注意=必须能够取到均值不等式解决某些特殊问题1均值不等式求有二次分式在区间上的值域2函数与方程的思想解决恒成立问题某些不宜使用均值不等式的问题学习资料：同步助学方略、
