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1、单元五 统计回归模型,案例1 牙膏的销售量 案例2 酶促反应,项目一如何建立统计回归模型,回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.,不涉及回归分析的数学原理和方法 .,通过实例讨论如何选择不同类型的模型 .,对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进.,由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型.,案例1 牙膏的销售量,问题,建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型;,预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.,收集了30个销售周期本公司
2、牙膏销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .,任务一建立基本模型,y 公司牙膏销售量,x1其他厂家与本公司价格差,x2公司广告费用,x1, x2解释变量(回归变量, 自变量),y被解释变量（因变量）,0, 1 , 2 , 3 回归系数,随机误差（均值为零的正态分布随机变量）,MATLAB 统计工具箱,任务二模型求解,b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha),输入,x= n4数据矩阵, 第1列为全1向量,alpha(置信水平,0.05),b的估计值,bintb的置信区间,r 残差向量y-xb,rintr的置信区间,Stats 检验统计量 R
3、2,F, p,s2,yn维数据向量,输出,由数据 y,x1,x2估计,任务三结果分析,y的90.54%可由模型确定,F远超过F检验的临界值,p远小于=0.05,2的置信区间包含零点(右端点距零点很近),x2对因变量y 的影响不太显著,x22项显著,可将x2保留在模型中,模型从整体上看成立,销售量预测,价格差x1=其他厂家价格x3-本公司价格x4,估计x3,调整x4,控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元,销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度95%）,上限用作库存管理的目标值,下限用来把握公司的现金流,若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握知道销
4、售额在 7.83203.7 29（百万元）以上,(百万支),模型改进,x1和x2对y的影响独立,两模型销售量预测比较,预测区间 7.8230，8.7636,预测区间 7.8953，8.7592,控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元,预测区间长度更短,略有增加,预测值,预测值,x2=6.5,x1=0.2,x1,x1,x2,x2,两模型 与x1,x2关系的比较,交互作用影响的讨论,价格差 x1=0.1,价格差 x1=0.3,加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元）,价格差较小时增加的速率更大,x2,完全二次多项式模型,MATLAB中有命令rstool直接求解,从输出 Ex
5、port 可得,鼠标移动十字线(或下方窗口输入)可改变x1, x2, 左边窗口显示预测值 及预测区间,牙膏的销售量,建立统计回归模型的基本步骤,根据已知数据从常识和经验分析, 辅之以作图, 决定回归变量及函数形式(先取尽量简单的形式).,用软件(如MATLAB统计工具箱)求解.,对结果作统计分析: R2,F, p, s2是对模型整体评价, 回归系数置信区间是否含零点检验其影响的显著性.,模型改进, 如增添二次项、交互项等.,对因变量进行预测.,案例2 酶促反应,问题,研究酶促反应（酶催化反应）中嘌呤霉素对反应速度与底物（反应物）浓度之间关系的影响.,建立数学模型，反映该酶促反应的速度与底物浓度
6、以及经嘌呤霉素处理与否之间的关系.,设计了两个实验 ：酶经过嘌呤霉素处理；酶未经嘌呤霉素处理. 实验数据见下表.,方案,任务一建立模型,Michaelis-Menten模型,y 酶促反应的速度, x 底物浓度,1 , 2 待定系数,底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比； 底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值.,酶促反应的基本性质,实验数据,线性化模型,经嘌呤霉素处理后实验数据的估计结果,对1 , 2非线性,任务二线性化模型结果分析,x较大时，y有较大偏差,1/x较小时有很好的线性趋势，1/x较大时出现很大的起落,参数估计时，x较小（1/x很大）的数据控制了回归参数的确定,beta,
7、R,J = nlinfit (x,y,model,beta0),beta的置信区间,MATLAB 统计工具箱,输入,x自变量数据矩阵 y 因变量数据向量,beta 参数的估计值R 残差，J 估计预测误差的Jacobi矩阵,model 模型的函数M文件名 beta0 给定的参数初值,输出,betaci =nlparci(beta,R,J),非线性模型参数估计,function y=f1(beta, x) y=beta(1)*x./(beta(2)+x);,x= ; y= ; beta0=195.8027 0.04841; beta,R,J=nlinfit(x,y,f1,beta0); betac
8、i=nlparci(beta,R,J); beta, betaci,beta0线性化模型估计结果,非线性模型结果分析,画面左下方的Export 输出其它统计结果.,拖动画面的十字线，得 y的预测值和预测区间,剩余标准差s= 10.9337,最终反应速度为,其他输出,命令nlintool 给出交互画面,o 原始数据 + 拟合结果,半速度点(达到最终速度一半时的x值 )为,混合反应模型,x1为底物浓度， x2为一示性变量 x2=1表示经过处理，x2=0表示未经处理 1是未经处理的最终反应速度 1是经处理后最终反应速度的增长值 2是未经处理的反应的半速度点 2是经处理后反应的半速度点的增长值,在同一
9、模型中考虑嘌呤霉素处理的影响,o 原始数据 + 拟合结果,混合模型求解,用nlinfit 和 nlintool命令,估计结果和预测,剩余标准差s= 10.4000,2置信区间包含零点，表明2对因变量y的影响不显著,参数初值(基于对数据的分析),简化的混合模型,简化的混合模型形式简单，参数置信区间不含零点.,剩余标准差 s = 10.5851，比一般混合模型略大.,估计结果和预测,一般混合模型与简化混合模型预测比较,简化混合模型的预测区间较短，更为实用、有效.,预测区间为预测值 ,注：非线性模型拟合程度的评价无法直接利用线性模型的方法，但R2 与s仍然有效.,酶促反应,反应速度与底物浓度的关系,非线性关系,求解线性模型,求解非线性模型,嘌呤霉素处理对反应速度与底物浓度关系的影响,混合模型,简化模型,
