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1、7.3 均衡的算法（续）,3,内容和要求,内容目的 理解RLS算法原理 了解均衡器中RLS算法的实现复杂性 常用自适应算法的性能 要求 难点为RLS算法的学习，了解RLS与LMS在算法上的侧重点有什么不一样。学习常用自适应算法和性能。,4,一、LMS算法的特点,LMS具有上讲所说的优点之外，明显的缺点如下： 采用随机梯度算法进行最佳参数的搜索。 对所有对数采用同一个参数：步长进行调整。 在输入信号相关矩阵特征值具有很强的弥散性时，整个LMS算法收敛速度将大大将低。,5,问题 对LMS算法是基于噪声梯度，从统计意义上向最佳点进行迫近。其调整的出发点是基于当前的输入信号与估计误差 新思想 如果随着
2、接收数据的加大，每次更新滤波器系数时能否考虑到更新之后的系数能否同样对以前的样点产生的误差数值为最优？即每次系数的更新，可用更新之后的系数对以前的误差信号进行重新计算，使所有的误差平方之和达到最小。,二、对自适应算法改进的思考,6,二、对自适应算法改进的思考,如果完整考虑新系数对以前输入信号点的影响，会产生两个问题： 随着时间的推进，累计误差将不断加大，这对实现上将存在影响； 如果外部系统的特性产生变化，则以前的误差信号对当前的系统状态（滤波器系数）没有参考价值。 改进思想 对误差进行加权的方式进行考虑，最近的误差具有较高的加权系数，过去的误差加权系数较小。即其代价函数可以考虑为下式：,7,二
3、、对自适应算法改进的思考,预计性能 从代价函数形式上可以看出，其系数调整依赖的信息远大于LMS算法，因而从直观形式上讲，采用这一代价函数应可以获取更好的性能。 关心以下二个问题 采用上述方法，将引起很大的计算量，这一运算量的增加有多大？ 其收敛速率与输入信号特征值的关系是否较LMS算法得到改善？,8,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,1、变量的约定 N：均衡器的抽头数，均衡器具采用FIR滤波器进行实现。 ：在t时刻的滤波器系数，下标代表滤波器的除数，括号中代表哪一时刻的滤波器系数。 ：在t时刻接收信号。 ：用t时刻获取的均衡器系数对n时刻的接收信号进行均衡的输出：,9,1、变量的约定 ：利用
4、t时刻新的均衡器系数，对n时刻接收观察矢量计算的均衡误差输出： ：按照新的代价函数，利用t时刻获取的均衡器参数对均衡误差进行加权计算，有： 加权系数范围：,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,10,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,2、Yule-Walker方程 为了求解t时该的均衡器最佳系数，对代介函数的均衡器系数求偏导数应为0，有：,11,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,有： 根据矩阵的关系，进行如下推导： （括号中是标量，因而转置对结果没有影响） 有：,12,定义： 注意：这儿定义的自相关性与互相关性不是平均意义上定义，而是基于时间集平均方式进行定义。与LMS算法中的定义完全不同。
5、 于是： 在t时刻的解为：,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,13,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,问题 从上式中可以看出，如果从t时刻以前的数据来求解均衡器的系数所涉及的运算量非常巨大。 因而有效计算t时刻最优解是我们的目标。,14,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,3、RLS算法推导 对于t时刻接收数据的自相关性可以从t-1时刻获取： 如何从 的矩阵逆求解 的逆？可以运用矩阵求逆公式： 定理：若A是非奇异的，则,15,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,对 的迭代式应用以上引理，有： 定义：,16,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,定义Kalman增益矢量 将上述定义代入 的迭代
6、式中，有： Kalman增益矢量的另一种表达方式： 对上式后乘 ，有：,17,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,即Kalman增益矢量也可定义为： RLS滤波器系数的更新： 互相关性矢量迭代关系如下式所示： 求解t时刻的滤波器系数为：,18,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,推导：,19,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,进一步推导：,20,三、递归最小二乘算法（RLS算法）,利用t-1时刻的滤波器的系数，在t时刻的均衡输出为： 因而：,21,1、RLS的算法过程 初始 均衡器的滤波器系数为： 输入信号自相关函数的关逆阵初始化为一个单位阵乘以一个系数 ，该系数可任意取值，随着时间的推移，
7、其影响将不断减小：,四、算法描述（基本RLS自适应算法）,22,四、算法描述（基本RLS自适应算法）,运用上一时刻的均衡器系数计算当前时刻估计： 运用上一时刻的均衡器系数前时刻均衡器估值误差 ： 计算Kalman增益矢量： 计算输入信号自相关矩阵的逆阵： 滤波器系数更新：,23,四、算法描述（基本RLS自适应算法）,2、RLS的算法特点 其与LMS算法很相似，但其更新量中增加了一个输入信号自相关函数的逆阵，其是改善算法性能的重要因素。 比较了三种算法的收敛性能与稳态性能,24,四、算法描述（基本RLS自适应算法）,特点总结 RLS算法具有更快的收敛速率； RLS在遗忘因子具有较大值时具有更好的
8、稳态性能（其与适应能力矛盾）； RLS算法运算量较大。,25,五、各种算法性能比较,自适应算法的主要性能 收敛速度：它是指对于恒定输入，当迭代算法的迭代结果已经充分逼近最优解时，即已经收敛时算法所需的迭代次数。 失调：自适应滤波器的终值与最优的最小均方差之间的差距。 计算复杂度：这是指完成迭代算法所需的操作次数。 数值特性：由于噪声和实际计算过程中引入的舍入误差，导致计算的不精确。这种误差会影响算法的稳定性。,26,五、各种算法性能比较,常用自适应算法与性能比较一览表,27,总结,本节课主要讲解了以下内容 理解RLS算法原理 了解均衡器中RLS算法的实现复杂性 常用自适应算法的性能,28,作业与思考题,7.2 参考LMS算法和RLS算法的结构，对比这两者之间的异同点。 7.4 当均衡器系数个数N2、5、8时，计算在三种不同算法LMS、Kalman RLS和平方根RLS下的乘法运算次数。,谢 谢！,
