《数值计算方法 教学课件 ppt 作者 刘萍 第2章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法 教学课件 ppt 作者 刘萍 第2章（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 贝齐尔曲线和B样条曲线,到了70年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔（Bezier）创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于：对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特征多边形），只要把其顶点坐标输入计算机，经过不到一秒钟的计算，绘图机就会自动画出同这个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。这种方法被人们称为贝齐尔(Bezier)方法(以下统称为Bezier方法)。,2.1 贝齐尔曲线 2.2 B样条函数 2.3 B样条曲线 2.4 自由曲线设计,2.1 贝齐尔曲线,贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折线（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点惟一地定义出来的。在该多边
2、折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的形状。图2-1列举了一些Bezier多边折线和相应的Bezier曲线的形状关系。,图2-1Bezier曲线,称为n次Bernstein多项式的基函数，Bezier曲线就是以此为基础构造出来的。,2到8次Bezier曲线的图例，如图2-3所示。,图2-3Bezier曲线图例,2.2B样条函数,为了定义B样条曲线，首先给出n次截幂函数和n阶B样条函数的定义。我们称 为n次截幂函数，即 称Mn(x)为n阶B样条函数，即,B样条函数图如图2-4所示。,图2-4B样条函数,B样条函数具有下列的重要性质： （1）Mn(x)是分段n-1
3、次多项式。当n为偶数时具有整数节点xk=-n/2+k，当n为奇数时具有半整数节点：xk=-n/2+k。比如： n=2, k=0,1,2, x0=-1, x1=0, x2=1 n=3, k=0,1,2,3，x0=-1.5, x1=-0.5, x2=0.5，x3=1.5,（2）在整个实数轴上，Mn(x)具有n-2次连续导数。 （3）Mn(x)是偶函数。 （4）Mn(x)具有非负性质，即当|x|n/2时，Mn(x)0；当|x|n/2时，Mn(x)= 0；且0Mn(x)1。,2.3 B样条曲线,给定一组初始型值点Pi(i=0,1,，n)，将它们按次序连接为折线段，称为控制多边形。我们称 为m次B样条曲
4、线。它是对参数t具有m-1阶连续导数的分段m次多项式。,图2-5 一次B样条曲线S1(t),图2-6 二次B样条曲线S2,2.4 自由曲线设计,（1）设计的曲线要求出现直线段。 （2）设计的曲线要求出现尖点。只需在出现尖点处将型值点的序号重复编号。 下面给出在计算机上绘制二次B样条曲线的步骤：,(1) 首先要确定全部的型值点Pi(i=0，1，n)。由于Pi(i=0，1，n)是平面上的点，可通过定义二维数组向Pi(i=0，1，n)赋坐标值。 (2) 用直线连接型值点Pi(i=0,1,n)，画出控制多边形。,(3) 整条曲线需分n-1段绘制。对于第i(i=0，1，n-2)段，其型值点为Pi，Pi+1，Pi+2。给出区间0，1上的加密点数m，则u=j/m，计算出各加密点的坐标B2(Pi，Pi+1，Pi+2，j/m)(j=0，1，m)，将这m+1个加密点用直线连接，绘制出本段B样条曲线。 (4) 所有的分段曲线全部绘出，即完成了整条曲线的绘制。,
