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1、第3章 时域分析法,本章的主要内容 3.1 典型控制过程及性能指标 3.2 一阶系统分析 3.3二阶系统分析 3.4 稳定性与代数判据 3.5稳态误差分析及误差系数,3.1 典型控制过程及性能指标,3.1.1 典型输入信号及输出波形 3.1.2 控制系统的性能指标,什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。,3.1.1 典型输入信号及输出波形,1）阶跃函数（信号）,单位阶跃函数及拉氏变换,单位阶跃函数波形图,（2）斜坡函数（信号）,单位斜坡函数及拉氏变换,单位阶跃函数波形图,3）抛物线信号（加速度信号）,单位抛物线信号及拉氏变换,单位
2、阶跃函数波形图,4）脉冲函数（信号）,单位脉冲函数及拉氏变换,单位脉冲函数波形图,和,5）正弦函数（信号）,单位正弦函数及拉氏变换,单位正弦函数波形图, 单位脉冲函数响应：, 单位阶跃函数响应：, 单位斜坡函数响应：, 单位抛物线函数响应：,典型响应：,3.1.2控制系统的性能指标,在典型信号作用下，控制系统的时间响应是由动态过程和稳态过程两部分组成。所以控制系统的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。,1.动态过程和动态性能,动态过程（过渡过程、暂态过程）：在典型输入信号作用下，系统从初态到终态的响应过程。 动态响应过程有三种情况：衰减型、发散型、等幅振荡型,动态性能：当系统的时间响
3、应c(t)中的瞬态分量较大而不能忽略时，称系统处于动态或过渡过程中，这时系统的特性。,阶跃响应的性能指标： 在测定或计算系统的动态性能指标时，由于阶跃函数可以表征系统受到的最严峻的工作状态，动态性能指标，一般由阶跃响应的性能指标来描述。,（1） 延迟时间 ：,输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。,（4） 最大超调量（简称超调量） ：,（2） 上升时间 ：,输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。,输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。,（3） 峰值时间 ：,（5）调节时间或过渡过程时间 ：,当 和 之间的误差达到规定
4、的范围之内比如 或 ，且以后不再超出此范围的最小时间。,在上述几种性能指标中， 表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两种最常用的性能指标。,2.稳态过程和稳态性能,稳态过程是指当时间t趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息，用稳态性能来描述。,通常讨论在阶跃、斜坡、加速度函数作用下的系统稳态误差；稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动性能。,ess=c期望- c（ ）,3.2 一阶系统分析,3.2.1 一阶系统的数学模型 3.2.2 一阶系统的单位阶跃系统 3.2.3 一阶
5、系统的单位斜坡系统 3.2.4 一阶系统的单位脉冲系统 3.2.5 三种响应之间的关系,3.2 .1一阶系统的数学模型,以一阶微分方程作为数学模型的控制系统，称为一阶系统。如图所示的一阶系统，其传递函数为,其闭环传递函数为：,式中， ,称为时间常数。,3.2 2 一阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃响应函数：,其单位阶跃响应曲线如图3-4所示。输出响应从零开始按指数规律上升，最后趋于1。,可见，调整时间只与时间常数T有关。T越小，系统响应速度越快。,3.2.3一阶系统的单位斜坡响应,设系统的输入信号为单位斜坡函数，即 。则可求得输出的拉氏变换为,c(t),T,0,T,t,一阶系统单位斜坡响应曲线如
6、图,输出量和输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常值T，惯性越小，跟踪的准确度越高。,3.2 4 一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于R(s)=1所以系统输入量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为,可见，单位脉冲响应中只包含瞬态分量。,3.2 5 三种响应之间的关系,从输入信号看，单位斜坡信号的导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号的导数为单位脉冲信号。,从输出信号来看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。,线性定常系统的一个重要性质：某输入信号导数的输出响应，就等于该输入信号输出响应的导数；同理
7、，某输入信号积分的输出响应，就等于该输入信号输出响应的积分，积分常数由零输出初始条件确定。,3.3 二阶系统分析,3.3.1 二阶系统的数学模型 3.3.2二阶系统的单位阶跃响应 3.3.3高阶系统的时域分析,3.3.1 二阶系统的数学模型,二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统.这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。系统典型 结构和传递函数为：,称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。,特征方程为：, 当时 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。, 当时 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根
8、，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。, 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。, 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,当输入为单位阶跃函数时， ，有：,分析：,1.欠阻尼情况,极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。其周期为:,2.无阻尼情况,极点为：,此时输出将以频率 做等幅振荡，所以， 称为无阻尼振荡圆频率。,3.临界阻尼情况,极点为：,阶跃响应函数为：,4.过阻尼情况,极点为：,其中，A1、A2、A3为待定系数。据此，
9、可求得输出响应的拉氏反变换,此时，系统输出时间t单调上升，无振荡和超调。由于输出响应含负指数项，因而随着时间的推移，对应的分量逐渐趋于零，输出响应最终趋于稳态值1。,上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：,典型两阶系统的瞬态响应,典型两阶系统的瞬态响应,可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。,5.欠阻尼二阶系统的性能指标,(1) 上升时间 ：根据定义，当 时， 。,(2) 峰值时间 ：当 时，,
10、(3) 超调量:,上式表明超调量%的大小只决定于阻尼比值，而与 的大小无关。工程中，有时把阻尼比和 %之间的关系，按计算结果，直接整理成曲线如图所示，应用时由直接查该图即可得%。,(4) 调节时间 ：,例3-1有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中 求该系统（）自然振荡角频率；（）系统阻尼比（）超调量和调节时间（）如要求 怎样改变系统 值。,解 该系统传递函数为,对照下式可得,（1）自然振荡角频率： （2）阻尼比 ：由 得,（3）超调量：,（4）调节时间：,（5）要求 即,例3-2 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示。试确定系统的传递函数。,解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态
11、值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为：,然后由响应的 、 及相应公式，即可换算出 、 。,（s）,由公式得,换算求解得：,3.2 3高阶系统的时域分析,高阶系统的传递函数为：,写成零极点形式：,单位阶跃响应为：,对上式进行部分分式展开,对上式拉氏变换得：,高阶系统有如下结论： （1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数 和 决定。如果某极点远离虚轴，那么其相应的瞬态分量比较小，且持续时间较短。,（2）高阶系统各瞬态分量的系数 和 不仅与复平面中极点的位置有关，而与零点的位置有关。,（3）在系统中，如果距虚轴最近的极点，其实部的绝对值为其他极点实部绝对值的1/5甚至更小，并
12、且在其附近没有零点存在，则系统的瞬态响应将主要由此极点左右。,3.4 稳定性与代数判据,3.4.1稳定的概念,3.4.2稳定的数学条件及定义,3.4.3古尔维次稳定判据,3.4.4劳斯稳定判据,3.2 3高阶系统的时域分析,高阶系统的传递函数为：,写成零极点形式：,单位阶跃响应为：,2.5.1 动态结构图的概念,1.定义:把组成系统的各个环节用方块图表示，在方块图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为动态结构图，简称结构图。,2.结构图由四种基本图形符号所组成，称为结构图 的四要素。各图形符号代表的意义如下：,（1）信号线：信号线是带有箭头的直线，箭
13、头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，见图（a）；,（2）引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，见图（b）；,（3）综合点（比较点或相加点）：对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“”号。有时“+”号可省略，但“”号必须标明，如图（c）；,（4）函数方块：表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系。方块内要填写元件或环节的传递函数，如图（d）。,(a) (b) (c) (d),2.5.2动态结构图的建立,绘制动态结构图的一般步骤为：,（1）明确系统的输入量和输出量；确定各
14、元件或环节的传递函数。,（2）绘出各环节的方块图，在其中标出传递函数，并将信号的拉氏变换标在信号线附近。,（3）按照系统中信号的传递顺序，依次将各环节的方块图连接起来，便构成系统的结构图。,例2-5 已知RC阻容网络如图2-5所示，其中 为输入量， 为输出量，试画出该网络的动态结构图。,解 该网络系统的输入量为ur，输出量为uc。其遵循的电路原理为：,对以上的标准微分方程组进行拉氏变换，得如下的标准变换方程组：,从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的传递函数方块图。并连结系统中的各同名信号线。如图2-6所示。,2-5 2-6,2.5.3动态结构图的等效变换,1、串联环节的等效
15、变换 几个环节的结构图首尾连接，前一个结构图的输出是后一个结构图的输入，称这种结构为串联环节。如图2-7（a）是两个环节串联的结构，有：,由上两式得,因而可等效成图2-7（b）所示的结构。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有,2-7(a) 2-7(b),2.并联环节的等效变换 两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总的输出信号的结构称为并联环节。如图为两个环节的并联结构图。由图得：,由上三式得,其等效结构图如图所示。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环节的传递函数的代数和，即有,3.反馈连接的等效变换 若传递函数分别为G（s）和H（s）的两个方块图如图2-9（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信号与反馈信号相减。 由（a）图有,由上三式得,称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递
