《《复变函数与积分变换》-张翠莲-电子教案 第1章 复数与复变函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《复变函数与积分变换》-张翠莲-电子教案 第1章 复数与复变函数（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1章 复数与复变函数,1.1 复数,1.1.1 复数的概念,设 ， 为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为 ， . 各数集之间的关系可表示为,1.1.2 复数的代数运算,设复数 ， ，定义 与 的四则运算如下： 加法： 减法： 乘法： 除法： 复数四则运算规律： （1）加法交换律,（2）乘法交换律 （3）加法结合律 （4）乘法结合律 （5）乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果： （1） （2） （3）若 ，则 与 至少有一个为零，反之亦然.,共轭复数的运算性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （
2、7） 为实数.,例1 化简 . 解,例2 设 ，求 及 . 解 所以,1.1.3 复数的各种表示、模与辐角,1.复数的几何表示 由复数 的定义可知，复数是由一对有序实数 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为 ，纵坐标为 的点 表示复数 （如图1.1），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 与数 看作同义词.,图1.1,图1.2,2.复数的向量表示 复数 还可以用起点为原点，终点为 的向量 来表示（如图1.1）， 与 分别是 在 轴与 轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系. 3.复数的模与辐角 复数的模 如图1.1中的
3、向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即,复数的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.1）, 与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 的辐角,记作 ，即 并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负. 4.复数的三角表示式 称 为复数 的三角表示式. 5.复数的指数表示式 称 为复数 的指数表示式.,例3 求 和 . 解,例4 求 的三角表示式与指数表示式. 解 因为 , 所以 设 则 又因为 位于第II象限， 所以 , 于是,1.1.4. 复数的幂与根,1. 复数的乘幂 设 为正整数， 个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即 若 ，则有 当 时，得到著名的棣莫弗 （De Moiv
4、re）公式,例7 求 . 解 因为 所以 例8 已知 ， 求 . 解 因为,所以,2.复数的方根,称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作 或记作 . 例1 解方程 . 解 因为 所以,可求出6个根，它们是,例2 计算 解 因为 所以 即,第1章 复数与复变函数,1.2 区域,1.2.1. 复平面上的点集与区域,扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面. 邻域 平面上以 为心， 为半径的圆： 内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即 称集合 为 的去心 邻域， 记作 .,开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为
5、开集. 闭集 如果点集 的余集为开集，则称 为闭集. 连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域. 闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .,1.2.2 单连通域与多（复）连通域,1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 ， 且 的 ，使 ,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如， 是一条简单闭曲线（如图1.9）.,图1.9,在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲
6、线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线， 是简单闭区域，图1.11中的 ， 不是简单曲线，但 是闭曲线.,图1.10,图1.11,2. 光滑曲线、分段光滑曲线 设曲线 的方程为 若 ， 在 上可导且 ， 连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 3. 单连通域、多连通域 设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有
7、“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12 ）.,图1.12,第1章 复数与复变函数,1.3 复变函数,1.3.1 复变函数的概念 定义1 设 为给定的平面点集，若对于 中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量， 称为因变量，点集 称为函数的定义域.,例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数. 解 设 ， ，代入 得 比较实部与虚部得 ，,例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函
8、数 ， （ ） 化为一个复变函数. 解 设 ， ， 则 将 ， 以及 代入上式，经整理后，得,1.3.2 映射的概念 如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示，则函数 在几何上，可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射，它将 内的一点 变为 内的一点 （如图1.13）.,图1.13,1.3.3 反函数与复合函数 1.反函数 定义2 设 定义在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意 ，在 内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点 ，通过法则 ，总有确定的 与之对应，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作 ，称为函数 的反函数，也称为映射 的
9、逆映射.,2.复合函数 定义3 设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的 与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数.,第1章 复数与复变函数,1.4 复变函数的极限与连续性,1.4.1复变函数的极限 定义4 设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式 的所有 ，对应的函数值 都满足不等式 则称复常数 为函数 当时 的极限，记作 或,定理1 设 ， 则 的充分必要条件为: 且,复变函数的极限四则运算法则： 设 ， ，则 (1) (2
10、) (3),例1 试求下列函数的极限. （1） （2） 解 （1）法1 设 ，则 ，且 得,法2 （2） 设 ，则 ，得,例2 证明函数 在 时极限不存在. 证 设 ， 而 ， . 考虑二元实函数 当 沿着 （ 为任意实数）趋向于 ，即,显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知， 在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.,1.4.2 复变函数的连续 定义5 设 在点 的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在点 处连续. 若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续. 定理2 函数 ，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续. 定理3 在 处连续的两个函数的和、差、
11、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续.,例3 求 解 因为 在点 处连续，故,例4 讨论函数 的连续性. 解 设 为复平面上任意一点，则 当 时， 在 无定义，故 在 处不连续. 当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时， 趋于 ，在 从实轴下方趋于 时， 趋于 ，所以 不连续.当 为其它情况时，由于 所以 连续.,定理4 若函数 在点 处连续，函数 在 连续，则复合函数 在 处连续（证略）. 最值性质 当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值； 有界性 在 上有界，即存在一正数 ，使对于 上所有点，都有 .,例5 讨论 在闭圆域 ： 上的连续性，并求 在 上的最大值与最小值. 解 因为 和 在 上连续，故 及 在 上都连续. 又因为 ，故它在 上的最大值与最小值分别就是 的最大值与最小值. 在 内，当 时， 取到最大值 ；,当 时， 取到最小值 ，即对任意 都有 特别指出， 在曲线 上点 处连续的意义是,
