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1、第2章 矩阵,2.1 矩阵的概念,2.1.1矩阵的定义 定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表 称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为或 ，其中 表示位于第 行第 列的数, 称为 的元素（或元），所以 矩阵也可以简 记为 或 ,2.1.2 几种特殊形式的矩阵 （1）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵 或 称为行矩阵或行向量 （2）列矩阵 当 时，即只有一列的矩阵 称为列矩阵或列向量,（3）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 例如， 的零矩阵可记为 （4）方阵 行数和列数都等于 的矩阵，称 为 阶矩阵或 阶方阵，记为 ，,即 其中元素 称为 阶方阵的主对角 元素，过元素 的直线称
2、为 阶方阵 的主对角线 （5） 阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵，即,记为,或,其中未写出的元素全为零,（6） 阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵，即 且 记为 或,（7） 阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵，称为 阶数量矩阵，记为 或,2.2 矩阵的运算,2.2.1 矩阵的线性运算 1矩阵的加法 定义2 两个 的同型矩阵 和 的 对应元素相加，所得 的矩阵称为矩阵 与的和,记为 ，即,例1 设 则 而 无意义,2数与矩阵的乘法 定义3 用数 乘以 矩阵 的所有元素， 所得的 矩阵称为数 与矩阵 的数乘矩 阵，简称数乘，记
3、为 ，即 当 时，称 为矩阵 的负矩阵，显然有,所以矩阵的减法可定义为 矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线 性运算，其运算规律： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ,例2 设 且 ，求矩阵 解 在 等式两端同加上 ，得,上式两端同乘 ，得,2.2.2 矩阵与矩阵相乘 定义4 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，则规定 与 的乘积是一个 矩阵 ，其中 记为,例3 设矩阵 求乘积 解,例4 设矩阵 ， 求 及 解,例5 设 ， 求 与 解,，,矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）： （1）结合律： （2）分配律： （3）对任意数 有 （4）设 是 矩阵 ，
4、则 ， 或简记为 即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似于乘法中的数1,定义5 方阵 的 次幂定义为 个方阵 连乘，即 其中 为正整数，规定 ，其运算规律： （1） ； （2） 为正整数 因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 阶方阵 与 ，一般来说,2.2.3 矩阵的转置 定义6 将 矩阵 的行换成同序数的列，所得的 矩阵称为 的转置矩阵，记为 或 ，即 其运算规律： （1） ；,；,（2） ； （3） ； （4） 例6 已知 求 解法1 因为,所以 解法2,定义7 设 为 阶方阵，若满足 ，则称 为对称矩阵，即 其特点是：关于主对角线对称的元素相等 若满足 ，则称 为反对称矩阵，即 ，当 时，
5、 ， 其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主 对角线上的元素全为零,2.2.4 方阵的行列式 定义8 由 阶方阵 的所有元素（位置不变）构成的行列式，称为方阵 的行列式，记为 或 ，即 其运算规律： （1） （行列式性质1）； （2） 为 阶方阵） ； （3）,2.2.5 共轭矩阵 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复 数，记 ， 称为 的共轭矩阵 其运算规律（设 ， 为复矩阵， 为复数，且 运算都是可行的）： （1） ； （2） ； （3） ,2.3 逆矩阵,2.3.1 逆矩阵的定义及性质 定义9 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使 ，则称方阵 可逆， 为 的逆矩阵 若 可逆，则 的逆矩阵
6、是惟一的 可逆矩阵的性质： (1) 若 可逆，则其逆阵 也可逆，且 （2）若 可逆，则 也可逆，且,（3）若 可逆， 为非零常数，则 也可逆，且 （4）若 ， 为同阶可逆阵，则 也可逆，且,；,2.3.2 方阵 可逆的充分必要条件及 的求法 定义10 设 阶方阵 由 的行列式 的所有元素的代数余子式 所构成的 阶方阵 称为矩阵的伴随矩阵.,定理1 设 是 阶方阵， 为 的伴随矩阵，则 定理2 阶方阵 可逆 ，且 推论 若 ，则 ,例1 设 判断 是否可逆，若可逆，求 解 因为,所以 可逆，又因为 有,所以 例2 设 求矩阵 ，使满足 . 解 若 ， 存在，则用 左乘上式， 右乘上式，,有 即
7、由例1知， 可逆，且 又因 ， 也可逆，且,所以,2.4 分块矩阵,2.4.1 分块矩阵的概念 设 是 矩阵，用若干条横线和竖线将 矩阵分成若干个小块，每一小块作为一个小矩 阵，称为 的子块（或子矩阵），在进行矩阵 运算时，可以将 的每一个子块作为一个元 素，这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分 块矩阵,2.4.2 分块矩阵的运算 1.分块矩阵的线性运算 分块矩阵的加法 设 与 为同型矩阵，且以相同的方式分块，即 其中 与 也是同型矩 阵，则,数与分块矩阵的乘法 设 为数，则,2.分块矩阵的乘法 设 为 矩阵， 为 矩阵，若它们 的分块矩阵分别为 其中子块 的列数分别等 于子块 的行数，即矩阵
8、 的列的分法与矩阵 的行的分法一致，则,其中 例1 设 求 ,解 将 、 分块成,3.分块矩阵的转置 设 则 4分块对角阵及其运算 设 为 阶方阵，若 的分块矩阵的主对角元素 为非零子块，其余子块均为零子块，且非零子 块均为方阵，,或 其中 为方阵，则称 为分块对 角阵 分块对角阵的行列式与各主对角块的行列 式满足：,由此可知，若 ，则 ， 并有 或,例2 设 求 解 将 按元素特征分块为 其中,所以,2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵,2.5.1 矩阵的初等变换 1初等行（列）变换 定义11 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： （1）对换变换：对换矩阵的某两行 （对换 两行，记为 ）； （2）
9、数乘变换：非零数 乘矩阵某行的所有元素（第 行乘 ，记为 ）； （3）倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的 倍加到另一行对应元素上（第 行的 倍加到 行上，记为 ）,若将上述定义中的“行”换成“列”，即对矩阵的列施行上面三种变换，就称为矩阵的初等列变换，相应的初等列变换分别记 ， ， 2初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换 统称为矩阵的初等变换 3等价关系 如果矩阵 经过有限次初等变换 化为矩阵 ，则称 与 等价，记为 矩阵的等价具有以下性质： （1）自反性： ；（2）对称性：若 则 ；（3）传递性：若 ， ，则,4特殊矩阵 （1）行阶梯形矩阵 如果矩阵中元素全为零的 行在最下面，而非零行中非
10、零元素自上而下逐 行减少并呈阶梯状，称此矩阵为行阶梯形矩阵 （2）行最简形矩阵 若行阶梯形矩阵中的非零 行的第一个非零元素为1，且1所在列的其它元素 全为零，称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵 （3）若 矩阵的左上角为一个 阶单位阵， 其余元素全为零，即,称此矩阵为标准形矩阵，它由 三个数 惟一确定，其中 为标准形矩阵中非零行的行 数,2.5.2 初等矩阵 定义12 单位矩阵经一次初等变换所得的矩 阵称为初等矩（方）阵 三种初等行变换对应的三种初等矩阵分别为： （1） 或 ：交换 的 两行（列）所得的矩阵，即,（2） 或 ： 的第 行（列）乘非零 数 所得的矩阵，即 （3） 或 ： 的第 行乘 加
11、到第 行（第 列乘 加到第 列）所得的矩阵，,即 初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同种初等矩阵，即,定理3 设 为 矩阵，对 施行一次初等 行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初 等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的 阶初等矩阵 定理4 若 为 矩阵，则存在 阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 ，使 得 推论1 阶可逆阵 必等价于单位矩阵 推论2 若方阵 可逆，则存在有限个初等矩 阵 ，使 ,推论3 矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使 用初等列变换也可求逆矩阵，即 例1 设 求 ,例16 设,解,所以,例2 求矩阵 ，使 ，其中 解 若 可逆，则 ,所以,2.6 矩阵的秩,
12、2.6.1 矩阵秩的定义 定义13 设 为 矩阵，在 中任取 行和列 ，位于这 行 列交叉 位置上的 个元素，按原有的位置构成的 阶方阵，称为矩阵 的一个 阶子方阵，其行列式称为 的一个 阶子式 定义14 设 矩阵 中，有一个 阶子式 不等于零，而所有 阶子式（如果存在）全等于零，则称 为矩阵 的最高阶非零子式，称数 为矩阵 的秩，记为 并规定零矩阵的秩为零,2.6.2 矩阵秩的性质 （1）设 为 矩阵，则 ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ， 其中 为 矩阵， 为矩阵 ,2.6.3 初等变换求矩阵的秩 定理5 若 ，则 推论1 若 为 阶可逆矩阵，则 推论2 若 则 推论3 设 为 矩阵， 、 分别为 阶和 阶 满秩矩阵，则,推论3 设,为,例 设 求矩阵 的秩 解 将 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵
