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1、本章主要教学内容 本章主要介绍控制系统数学模型的相关知识，通过本章的学习，读者应掌握以下内容： 系统微分方程建立的一般方法 传递函数的定义、性质和意义 控制系统的开、闭环传递函数及典型环节传递函数 动态结构图及其等效变换 状态空间描述与状态方程 各种数学模型之间的相互转换,第2章 控制系统的数学模型,第2章 控制系统的数学模型,本章教学目的及要求 l 熟悉常用的数学模型及其特点 l 掌握微分方程、传递函数、动态结构图、状态空间法的基本表达 l 熟悉各种数学模型之间的相互转换,2.1 微分方程,第2章 控制系统的数学模型,2.2 传递函数,2.3 动态结构图及其等效变换,2.4 状态空间描述,2
2、.5 数学模型的相互转换,2.1 微分方程 控制系统的数学模型通常是指动态数学模型。最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。 建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。 建立数学模型比较常见的方法是解析法和实验法。 解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系
3、统的数学模型。,2.1.1 微分方程的建立 1. 微分方程建立的一般步骤 采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是： （1）确定系统或元部件的输入、输出变量。 （2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。 （3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。 （4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。 （5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。,【例2.2】RLC串联电
4、路，建立该系统的微分方程。 解：在RLC串联电路中，输入电压Ur为系统的输入量，输出电压c为系统的输出量。 根据克希霍夫定律，可以得到回路的电压方程如下：,电容两端的电压为：,中间变量为：,带入原始方程中，消去中间变量，并移项整理得：,该式即为RLC串联电路的微分方程。,2.1.2 线性微分方程的求解 采用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤 （1）将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，得到以S为变量的代数方程，也称为变换方程。 （2）求解变换方程，得到系统输出变量的象函数表达式。 （3）将输出的象函数表达式展开成部分分式。 （4）对部分分式进行拉普拉斯反变换，即可得到系统微分方程的解。,2.1.3 非
5、线性数学模型的线性化处理 1. 线性化的基本概念 所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的变化，非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型。这便是自动控制理论里关于小偏差线性化方法或称增量线性化方法的概念。 2. 非线性数学模型的线性化的基本方法 对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏
6、差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。,3. 求线性化微分方程的步骤 （1）按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。 （2）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。 （3）将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。 （4）消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。,2.2 传递函数,2.2.1. 传递函数的概念 1. 传递函数的定义 对于一个线性定常系统，在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该
7、系统的传递函数。 表示为：,2. 传递函数的求取 按照传递函数的定义，利用系统的微分方程进行相应的拉氏变换，即可得到系统的传递函数。,3. 传递函数的性质 根据线性定常系统的传递函数表达式的分析，传递函数具备下列性质： （1）传递函数是描述线性系统或元部件动态特性的一种数学模型，在形式上与系统的微分方程一一对应。 （2）传递函数只表明输入变量与输出变量之间的动态关系，不能够反映出系统内部的信息。 （3）传递函数只能直接反映系统在零初始状态下的动态特性，即在零时刻之前，系统在给定工作点处是相对静止的；若系统处于非零初始状态下，则传递函数无法反映系统的特性和运动规律，需要作其它方面的处理。,（4）
8、传递函数完全由系统的结构、参数确定，而与输入信号的形式无关，它反映了系统本身的动态特点。对于同一系统，当选取不同的输入量和输出量时其传递函数是不同的。 （5）同一个系统，对于不同作用点的输入信号和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。在分析系统性能时，常将传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。 （6）实际系统中，传递函数的分母多项式阶次n总是大于分子多项式阶次m，这是因为控制系统总是存在“惯性”，且外部提供的能量是有限的。 （7）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有
9、相同的传递函数表示。,2.2.2 典型环节及其传递函数 通常，控制系统是由若干元部件有机组合而成的，从结构和作用原理来看，可以有各种各样的不同元部件，但是从动态性能和数学模型来看，可以分为几个基本的典型环节。不管元部件是机械式、电气式、液压式等，只要其数学模型一样，它们就可以归纳为同一个环节，这样给分析、研究系统性能带来很多方便。 常用的典型环节主要有比例环节、惯性环节、一阶微分环节、积分环节、振荡环节、延迟环节等6种形式。 1. 比例环节 比例环节也称为放大环节，其特点是环节的输出量与输入量成正比。 传递函数为： 其中k为放大系数。,2. 惯性环节 传递函数为： k为传递系数；T为惯性时间常
10、数 3. 一阶微分环节 传递函数为： 为微分时间常数 理想的微分环节传递函数为：,4. 积分环节 传递函数为： 式中， 称为积分时间常数。,5. 振荡环节 传递函数为： 其中T为时间常数， 为阻尼系数，也称为阻尼比， 称为无阻尼自然振荡频率。,6. 延迟环节 延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，当输入量作用后，在给定一段时间之前，延迟环节的输出量一直未变化，只有到达延迟时间以后，环节的输出量才无偏差的复现原信号。 延迟环节的传递函数为：,通过上述分析，我们要明确以下几点： （1）系统的典型环节是按照数学模型的共性来建立的，它与系统中使用的元部件不是一一对应的，一个系统可能是一个典型环节，也可
11、能由几个典型环节组合而成。 （2）按照数学模型对元部件和系统进行分类，产生出若干典型环节，将有助于系统动态特性的研究和分析。 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常系统来描述的场合。,2.2.3 自动控制系统的传递函数,如下图所示的闭环控制系统，采用叠加原理可分别求出在输入信号和扰动信号作用下的系统各类传递函数。 其中各类信号和装置分别定义为： 输入信号：R（S） 输出信号：C（S） 主反馈信号： B（S） 偏差信号：E（S） 干扰信号： N（S） 控制器： G1（S） 被控对象：G2（S） 反馈环节： H（S）,1. 系统开环传递函数 闭环系统在开环状态下的传递函数称为系统的开环传递函数
12、，这是指当系统主反馈通路断开以后，反馈信号与输入信号之间的传递函数。 表示为： 从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。,输入信号作用下的系统闭环传递函数 令干扰信号为0，系统输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。 表示为：,3.干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，系统输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。,表示为：,4. 闭环系统的误差传递函数 输入信号作用下的误差传递函数： 令干扰信号，误差信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。 表示为：,2.
13、3 动态结构图及其等效变换 2.3.1 结构图的组成及绘制,1. 结构图的组成符号、名称及功能 系统动态结构图的组成符号主要有以下4种： （1）信号线：表示系统中信号的流通方向，并标明信号对应的变量。 （2）引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上取出的信号，其大小、性质完全相同。 （3）比较点：表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加。 （4）方框：表示输入、输出信号之间的动态传递关系。,结构图的绘制步骤 （1）列出系统中各元部件的微分方程，确定输入、输出变量。 （2）以典型环节或典型环节的组合来取代系统中的具体元部件，将各环节的传递函数填入方框中，标出信号及其流向。 （3）按系统中信号的流
14、向，把代表各环节的方框连接起来，即构成系统的结构图。方框图中给出了信息传递的方向，又标出了输入、输出的定量关系。,2.3.2 结构图的等效变换,控制系统通常是由不同的典型环节按照各自相互关系有机地连接起来，这种连接可以分为以下3种形式： 1. 串联连接 环节串联连接的特点是：前一环节的输出量是后一环节的输入量。 一般情况下，当n个环节串联时，忽略负载效应后，其等效传递函数为： 可见，串联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的乘积。,并联连接 其特点是：各环节的输入信号相同，输出在相加点进行叠加。 一般情况下，当n个环节并联时，其等效传递函数为： 可见，并联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的
15、代数和。,3. 反馈连接 反馈连接的特点是：环节的输出信号反馈到输入端与输入信号进行比较。 则负反馈连接的系统闭环传递函数为： 若 称为单位负反馈系统。,2.4 状态空间描述 状态方程： 根据分析，对于某一特定系统（可以是线性或非线性的、定常或时变的），当引入n个状态变量，将其化为n个一阶微分方程组的形式，再对其采用矩阵描述，可以得到如下表达式： . X=AX+BU Y=CX 其中： A状态变量系数矩阵 B输入变量系数矩阵 C输出变量系数矩阵,2.5 数学模型的相互转换,在实际工程中，由于要解决自动控制问题所需要的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往是不一致的，也可能是要解决问题最简单而又最方便的方法所用到的数学模型与该问题所给定的已知数学模型不同，此时，就需要对控制系统的数学模型进行转换。 另外，在不同的应用场合，由于实际系统所给定的数学模型形式各异，在仿真时要进行模型的转换，即将给定模型转换为仿真程序能够处理的模型形式。 通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式，当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。所以，讨论系统数学模型之间的转换具有实际的指导意义。,本章小结,本章介绍了几种控制系统中常用的数学模型形式，其中，系统的微分方程是最基本、最常用的；通过拉氏变换得到的传递函数也是表达系
