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1、,9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例,第9章 常微分方程,结束,9.1 常微分方程的基本概念,常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程,定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶,一阶微分方程的一般形式是,二阶微分方程的一般形式是,注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现,例：,我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个解,解 设所求曲线的方程为y=y(x)，,根据导数的
2、几何意义及本题给出的条件，得,又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得,故所求曲线的方程为,一阶微分方程的通解是,二阶微分方程的通解是,通常情况下，,即,一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题，求解其初值问题就是求方程的特解,一阶微分方程的初始条件是,代入原方程的左边，有,所以该函数不是所给二阶微分方程的解,解 由,得,代入原方程的左边,满足原方程,故所求特解为,9.2 可分离变量的微分方程,即上述方程可以表为,（9.2.3）,可验证，此结果即用隐式给出的方程（9.2.3）的通解,例1 求微分方程,解 移项、积分,得,解 分离变量，得,两边积分，得通解,两端积分，得,即,故所求特解为
3、,解 整理得,则有,代入方程得,(1)为可分离变量的微分方程,将(1)变形为,得,从而,9.3.1 一阶线性微分方程,特征,（9.3.1）式称为一阶线性非齐次方程,下面介绍利用参数变易法求方程（9.3.1）的通解,（9.3.2）是变量可分离的方程，容易求得它的通解,即,于是,一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：,(i) 求对应于（9.3.1）的齐次方程（9.3.2）的通解,即为所求（9.3.1）的通解,解,代入公式,则所求的通解为,例2 求解微分方程,解 方程可变形为,这里,所以,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,9.3.2 可降阶的高阶微分方程,高阶方程：二阶或二阶以上的
4、微分方程,下面介绍简单的、经过适当变换可降为一阶的微分方程,此微分方程右端仅含自变量x，通过两次积分可得通解,例4 解微分方程,解 积分一次得,再积分一次得,2. 型的微分方程,如果能求出上述方程的通解,再由方程,则求得原方程的通解,于是原方程为,即,因为,所以,则,利用分离变量法可进一步求得原方程的通解为,解 令,两边积分得,由初始条件,，所以取正号 ）,即为满足所给方程及初始条件的特解,积分后得,再由初始条件，得,代入上式整理后得,9.4 二阶常系数线性微分方程,9.4.1 二阶线性微分方程解的性质,为二阶常系数线性非齐次微分方程.,所以,又因为,于是有,考察函数线性相关的简单方法：看比值
5、是否为常数,之比为常数，,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；如果不是常数，则它们线性无关,9.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,例1 解微分方程,所以由定理2，得方程的通解为,解 该方程的特征方程为,它有两个不相等的实根,其对应的两个线性无关的特解为,所以方程的通解为,解 该方程的特征方程为,它有重根,其对应的两个线性无关的特解为,所以通解为,求得,因此，所求特解为,解 该方程的特征方程为,它有共扼复根,即,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,9.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法,由定理3知，非齐次线性方程的通解是对应的齐次线性方程的通解与其自身的一个特解
6、之和，而求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解问题已经解决，所以求非齐次线性方程的通解关键在于求其中一个特解,以下介绍当自由项f (x)属于两种特殊类型函数时的情况,不是特征方程的根，所以设特解为：,即,代入方程，得,故原方程的特解为,因为指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数 , 因此，我们可以设（9.4.4）有特解,故对应的齐次方程的通解,代入原方程，得,解,得,故,由定理3知方程的通解,9.5 常微分方程的应用举例,在学习了几类微分方程的解法基础上，本节将举例说明如何通过建立微分方程解决一些在几何上的实际问题，并且介绍微分方程在经济数量分析中的应用,例1 求过点（1，3）且切线斜率为 2x的曲线方程,解 设所求的曲线方程是y =y (x),其中y (1)=3 表示 x=1 时y的值为3,解 设所求的函数关系为Q=Q(P),根据需求价格弹性的定义有,为求出 Q = Q(P) ，我们可以将（9.5.3）式改写成,两边积分，得,即,于是,所以Q与P的函数关系为,即,解 由题意列出方程,分离变量,两边积分得,所以，纯利润与广告费的函数关系为,
