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1、,第1章 插值方法,插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前，我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了不同的解决方法。,1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例,1.1 拉格朗日插值公式,拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,n)的构造
2、。,图11 插值多项式,1.n=1的情况 已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，要求多项式y=p1(x)，使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其几何意义，就是通过两点A(x0,y0),B(x1,y1)的一条直线，如图12所示。,图12 一次插值多项式,由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为 它也可变形为p1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1 显然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，p1(x0)=y0，p1(x1)=y1,(1.1),其中,我们称l0(x)为点x0的一次插值基函数，l1(x)为点x1的一次插值基函数。它们在对应的插值点上
3、取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。,2.n=2的情况 线性插值只利用两对值(x0,y0)及(x1,y1)求得y=f(x)的近似值，误差较大。 p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2 p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。,3.一般情况 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式p2(x)。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方
4、法写出n次插值多项 式pn(x)，如下所示：,1.2 牛顿插值公式,差商表,Newton插值算法如下： inputx,(xi,yi),i=0,1,n。 y=y0,t=1。 forj=1,n do t=t*(x-xj-1) for i=0,n-j do end y=y+y0*t end output (x,y),(xi,yi),i=0,1,n。,Newton插值算法中的j循环由三部分组成：计算(x-xj)的累积，存入t单元；内套一个i循环用来依次计算差商表中的各阶差商，存入yi单元；y单元用于存放Newton公式中各项累加之和。,例3 已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的
5、Newton插值多项式。 解： 设x0=-1,x1=1,x2=2, 则,1.3 埃特金插值公式,埃特金(Aitken)插值公式(以下统称为Aitken插值公式)的构造是基于这样的直观想象：平面上的两个点可以连成一条直线, 对应一个线性函数；把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形式点, 经线性组合, 可构成三次函数。,Aitken 插值表,从Aitken插值公式向算法转化要考虑的问题是： (1) 插值公式右端n-1次多项式应如何处理； (2) 插值表中的元素应设置多少个存储单元； (3) 插值表中第k列第i行元素的计算公式。, Aitken插值算法如下： inp
6、ut x,(xi,yi),i=0,1,n 1 k L： for i=k,k+1,n do end ifknthen k+1 k, go to L ifk=n,output yn ,Aitken插值算法为二重循环。外循环为k循环，用于计算Aitken插值表中的第k列；内循环为i循环，用于计算Aitken插值表中的第k列中的第i个元素。,例4已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多项式。 解：设x0=-1,x1=1,x2=2,例4的Aitken插值表,1.4 存在惟一性定理,Lagrange插值公式、Newton和Aitken插值多项式是同一个函数。事实上,
7、我们有以下一个定理。 定理1 有惟一的n次多项式pn(x)，满足条件： pn(xi)=yi (i=0,1,n) （1.3）,1.5 插值余项,定理2 若f(x)在包含着插值节点x0,x1,xn的区间a,b上n+1次可微分, 则对任意x,xa,b,有与x有关的(ab)存在, 使得 其中(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)。,例 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 解：利用3次Lagrange 插值公式, 简单计算过程如下：,综合上述, 我们有 真值：ln(0.6)=-0.510826， 近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真误差：l
8、n(0.6)-p3(0.6)=-0.000851， 估计的上界：|ln(0.6)-p3(0.6)| 0.00391,例 给定 (x-5,5)。取等距节点xi=-5+i(i=0,1,10), 试建立插值多项式L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。,图1-3 例6的图形,1.6 分段三次埃尔米特插值,为了避免Runge现象的发生, 我们很自然地会想到把区间-5, 5等分为10个小区间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）, 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段线性插值函数。,已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分
9、段三次插值函数H(x)满足 H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi) (i=0,1,n) 为了得到插值函数,考虑任意子区间xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用Lagrange插值函数结构, 在第i个子区间上 H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 这样，就把H(x)的构造问题转化为四个插值基函数hk(x)(k=1,2,3,4)的构造问题。,1.7 三次样条插值,“样条”这个词本来是指在飞机或轮船设计过程中为了描绘出光滑的外形曲线所用的一种工具，即一个具有弹性的细长木条。事实上，在作了某些近似简化后，样条的数学模型并
10、不复杂，它只是分段的三次多项式曲线：在相邻两块压铁之间是三次多项式曲线；在压铁处，左右两段曲线的切线和曲率是连续的。,定义 给定a,b的分划：a=x0x1xn=b, 如果函数s(x)在区间a,b上满足以下条件： （1）在每一个子区间（xi,xi+1）(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多项式； （2） s(x)在区间a,b上具有二阶连续导数； （3）s(xi)=yi(i=0,1,n),s(x0)=y0,s(xn)=yn。我们就称s(x)为三次样条函数。,1.8 应用实例,例9 要在程控铣床上加工直升飞机的旋转机翼，外形的截面形状见图1-4。外形头部有一段圆弧B1B2，圆的半径R=6.92m
11、m，tan=0.305,B1,B2的坐标为B1(0.52,5.288)，B2(2.6,-3.615)，截面上轮廓线18个点的坐标如表1-8所示。旋转机翼外形截面图如图1-4所示。由于图中有些点很密，所以只有一部分点可以看到。,图1-4 直升飞机旋转机翼外形截面图,解：要用程控铣床加工工件必须计算出整个工件外形曲线足够密的点的坐标值。根据所给条件，头部圆弧B1B2可由圆的方程直接计算出点的坐标，其余部分必须根据给出的点，利用插值方法计算加密点的坐标。现在先讨论头部圆弧B1B2的计算方法。根据所给条件，可求得圆心坐标(x0,y0)如下： x0=Rcos=6.619 y0=Rsin=2.0186 于是，圆的方程为 (x-6.619)2+(y-2.0186)2=R2=47.886 ,
