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1、方差分析专题单因素试验的方差分析（一）单因素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备及操作人员的水平等因素。每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。有些因素影响较大，有些较小。为了使生产过程得以稳定，保证优质、高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素。为此，我们需进行试验。方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。影响试验指标的条件称为因素。因素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控因素）；一类
2、是人们不能控制的。例如，反应温度、原料剂量、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的。以下我们所说的因素都是指可控因素。因素所处的状态，称为该因素的水平（见下述各例）。如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。例1 设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如表9.1所示。表9.1 铝合金板的厚度机器机器机器0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262这里，试验的指标是薄板的
3、厚度。机器为因素，不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平。我们假定除机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其它条件都相同。这是单因素试验。试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异。即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响。例2 下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。表9.2 电路的响应时间类型类型类型类型192016182221152220331819182726154017这里，试验的指标是电路的响应时间。电路类型为因素，这一因素有4个水平。这是一个单因素试验。试验的目的是为了考察各种类型电路的响应时间有无显著差异。即考察电路类型
4、这一因素对响应时间有无显著的影响。例3 一火箭使用了四种燃料，三种推进器作射程试验。每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次，得结果如下（射程以海里计）。表9.3 火箭的射程推进器（）燃料（）58.256.265.352.641.260.849.154.151.642.850.548.460.170.939.258.373.240.775.858.248.771.55141.4这里，试验的指标是射程，推进器和燃料是因素，它们分别有3个、4个水平。这是一个双因素的试验。试验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有无显著的差异，即考察推进器和燃料这两个因素对射程是否有显著的差异。本节限于讨论单因
5、素试验，我们就例1来讨论。在例1中，我们在因素的每一水平下进行了独立实验，其结果是一个随机变量。表中数据可看成来自三个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值。将各个总体的均值依次记为，。按题意需要检验假设 不全相等现在进而假设各总体均为正态变量，且各总体的方差相等，那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题。下面所要讨论的方差分析法，就是解决这类问题的一种统计方法。现在开始讨论单因素试验的方差分析。设因素有个水平，在水平（）下，进行（）次独立实验，得到如下表的结果。表9.4水平观察值样本均值总体均值我们假定：各个水平（）下的样本来自具有相同方差，均值分别为（）的正态总体，与未知。
6、且设不同水平下的样本之间相互独立。由于，即有，故可看成是随机误差。记，则可写成（1.1）其中与均为未知参数。（1.1）式称为单因素试验方差分析的数学模型。这是本节的研究对象。方差分析的任务是对于模型（1.1）， 检验个总体的均值是否相等，即检验假设 不全相等。（1.2）作出未知参数的估计。为了将问题（1.2）写成便于讨论的形式，我们将的加权平均值记为，即 （1.3）其中。称为总平均。再引入（1.4）此时有，表示水平下的总体平均值与总平均的差异，习惯上将称为水平的效应。利用这些记号，模型（1.1）可改写成而假设（1.2）等价于假设 不全为零。这是因为当且仅当时，即，（）。（二）平方和的分解下面我
7、们从平方和的分解着手，导出假设检验的检验统计量。引入总平方和（1.5）其中（1.6）是数据的总平均。能反映全部试验数据之间的差异，因此又称为总变差。又记水平下的样本平均值为，即（1.7）我们将写成注意到上式第三项（即交叉项）于是我们就将分解成为， （1.8）其中,（1.9）（1.10）上述的各项表示在水平下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差所引起的。叫做误差平方和。的各项表示水平下的样本平均值与数据总平均的差异，这是由水平引起的。叫做因素的效应平方和。（1.8）式就是我们所需要的平方和分解式。（三），的统计特性为了引出的检验统计量，我们依次来讨论，的一些统计特性。（1）的统计特性将写
8、成 （1.11）注意到是总体的样本方差的倍，于是有因各独立，故（1.11）式中各平方和独立。由分布的可加性知，即，（1.12）由（1.12）式还可知，的自由度为。且有（1.13）（2）的统计特性我们看到是个变量（）的平方和，它们之间仅有一个线性约束条件故知的自由度为。再由（1.3），（1.6）及的独立性，知（1.14）即得由式，知，故有（1.15）进一步还可以证明与独立，且当为真时（1.16）证略。思考：当为真时，整个样本来自什么总体？（四）假设检验问题的拒绝域现在我们可以来确定假设检验问题的拒绝域了。由（1.15）式知，当为真时（1.17）即是的无偏估计。而当为真时，此时（1.18）又由（1
9、.13）式知 （1.19）即不管是否为真，都是的无偏估计。综上所述，分式的分子与分母独立， 的分布与无关，分母的数学期望总是。当为真时，分子的数学期望为，而当为真时，由（1.18）式分子的取值有偏大的趋势。故知检验问题的拒绝域具有形式 其中由预先给定的显著性水平确定。由（1.12），（1.16）式及与的独立性知，当为真时， 由此得检验问题的拒绝域为（1.20）上述分析的结果可排成表9.5的形式，称为方差分析表。表9.5 单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方比因素误差总和表中，分别称为，的均方。思考：当为真时，均方的数学期望分别是什么？因此均方又可以称什么？另外，由于在中个变量之间仅满足
10、一个约束条件（1.6），故的自由度为。例4 如上所述，在例1中需要检验假设 不全相等试取，完成这一假设检验。解：表9.6 例4的方差分析表方差来源平方和自由度均方比因素0.0010533320.0005266732.92误差0.00019200120.00001600总和0.0012453314因，故在水平0.05下拒绝，认为各台机器生产的薄板厚度有显著的差异。例5 设在例2中的四种类型电路的响应时间的总体均为正态，且各总体的方差相同。又设各样本相互独立。试取，检验各类型电路的响应时间是否有显著差异。解：我们需检验假设 不全相等表9.7 例5的方差分析表方差来源平方和自由度均方比因素318.9
11、77777783106.325925933.76误差395.466666671428.24761905总和714.4444444417因，故在水平0.05下拒绝，认为各类型电路的响应时间有显著差异。（五）未知参数的估计上面已讲到过，不管是否为真，都是的无偏估计，因此又由（1.14），（1.7）式知，故，分别是，的无偏估计。又若拒绝，这意味着不全为零。由于，知是的无偏估计。当拒绝时，常需要作出两总体和，的均值差的区间估计。其做法如下。 由于，由第六章附录知与独立。于是 据此，可得均值差的置信度为的置信区间为 （1.21）思考：以前我们学过两个正态总体方差相等但未知的情况下，均值差的置信区间：，其
12、中，请问这与（1.21）式有何异同？（提示：的自由度是多少？）双因素试验方差分析本节介绍双因素试验方差分析。（一） 双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素、作用于试验的指标，因素有个水平，因素有个水平。现对因素，的水平的每对组合，都作（）次试验（称为等重复试验），得到如下结果。表9.8因素因素并设：这里，均为未知参数。或写成（2.1）引入记号：，易见，称为总平均，称为水平的效应，称为水平的效应。这样可将表示成，（2.2）记 ，（2.3）此时 （2.4）称为水平和水平的交互效应，这是由，搭配起来联合起作用而引起的。易见，这样，（2.1）可写成（2.5）其中，及都是未知参数。（2.5）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型。对于这一模型我们要检验以下三个假设：（2.6）（2.7）（2.8）与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是建立在平方和的分解上的。先引入以下记号：， 再引入总平方和我们可将写成：即得平方和的分解式：（2.9）其中（2.10）（2.11）（2.12）称为误差平方和，分别称为因素、因素的效应平方和，称为，交互效应平方和。可以证明，的自由度依次为，且有（2.14）（2.15）
