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1、第2章 连续时间系统的时域分析,2.1 连续时间系统的描述微分方程的建立 2.2 连续时间系统的时域数学模型 微分方程的求解 2.3 连续时间系统的冲激响应和阶跃响应 2.4 卷 积 及 其 性 质 2.5 用MATLAB进行连续时间系统时域分析,2.1 连续时间系统的描述 微分方程的建立,2.1.1 线性时不变系统 在第1章中我们已经讨论了什么是线性时不变系统，即系统运算既满足线性关系又满足其参数不随时间而变化的系统是线性时不变系统，简写为LTI系统。,对LTI系统的分析具有特别重要的意义，因为LTI系统在实际工程应用中相当普遍，有些非LTI系统在一定条件下可以近似为LTI系统，尤其是LTI
2、系统的分析方法现在已经形成了一套较为完整、严密的理论体系。非线性系统的分析到目前为止还没有统一、通用严格的分析方法，只能对具体问题进行具体讨论。,连续时间LTI系统分析的一个基本任务是求解系统对任意激励信号的响应，基本思路是将信号分解为多个基本信号源。时域分析将脉冲信号作为基本信号源，信号可以用冲激或阶跃函数表示。频域分析是将正弦或复指数函数作为基本信号源，信号可以用不同频率的正弦或复指数函数表示。对同一信号的这两类不同的分解方法对应两种不同分析方法。,但是这两种分析方法基本思路相同，都是利用LTI系统具有的叠加、比例和时不变特性，先求基本信号的响应，然后叠加。所以这两种分析方法和思路没有本质
3、区别，仅仅是分解的基本信号源不同而已。,2.1.2 连续时间系统的描述 微分方程的建立 不同的系统建立微分方程的依据有所区别。对于电路系统，若给定的元器件都是线性的且元件参数是不随时间变化的，则建立微分方程的基本依据是基尔霍夫电压定律（KVL）和电流(KCL)定律，还有元件上的电压电流关系(VAR)。,两点结论。 （1）解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数，与动态电路的阶数（即独立动态元件的个数）是一致的。 （2）输出响应无论是iL(t)、i2(t)，或是uo(t)、i1(t)，还是其他别的变量，它们的齐次方程都相同。这说明对单输入、单输出的线性时不变电路系统的求解已经转换为微分方程的求解。
4、,2.2 连续时间系统的时域数学模型 微分方程的求解,2.2.1 微分方程的求解方法 将2.1节中的例子推广到一般，如果单输入、单输出的线性时不变系统的激励为x(t)，响应为y(t)，则描述x(t)与y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，可写为 y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y（1）(t)+a0y(t)= bmx(m)(t)+bm-1(t)x(m-1)(t)+b1x（1）(t)+b0x(t),1.齐次解 (1)特征根均为单根 (2)特征根为重根 (3) 特征根有重根且有单根。 (4)特征根是一对单复根。,2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。选定特解后，将它代入
5、原微分方程，求出其待定系数，就可得出特解。,微分方程解的物理意义：当微分方程用以描述系统的输入输出关系时，微分方程的解是系统的响应，它将输出与输入的关系表示为显函数关系。齐次解是系统的自由响应，此时输入信号为零，输出的模式依赖于系统的特性，它的指数幅度取决于给定的初始条件；特解是系统的强迫响应，它取决于系统特性及输入函数。,2.2.2 零输入响应和零状态响应 线性时不变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态x(0)所引起的响应（即这时系统不加输入信号），用yzit表示；零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起
6、的响应，用yzst表示。,这样，线性时不变系统的全响应是零输入响应和零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t) (2-17),1.零输入响应 在零输入条件下，式(2-7)等式右端为零，化为齐次方程。 2.零状态响应 在零状态条件下，系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式(2-7)为非齐次方程。,3.全响应 系统的完全响应既可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应 。,2.3 连续时间系统的冲激响应和阶跃响应,2.3.1 冲激响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h（t）表示。亦即，
7、冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时系统的零状态响应。,由于系统冲激响应ht要求系统在零状态条件下，且输入激励为单位强度的冲激信号(t)，因而冲激响应h(t)仅决定于系统的内部结构及其元件参数。也就是说，不同结构和元件参数的系统，将具有不同的冲激响应。因此，系统的冲激响应ht可以表征系统本身的特征。,冲激响应中h(t)是否含有冲激信号(t)及其高阶导数，是通过观察动态方程右边的(t)的导数的最高次与方程左边的h(t)导数最高次来决定的。对于h(t)中的u(t)项，其形式由特征方程的特征根来决定，其设定方式与零输入响应的设定方式相同，即将特征根分为不等根、重根、共轭复根等几种情况分别设定。,2.
8、3.2 阶跃响应 线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。而阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应。系统阶跃响应的求法与冲激响应的求法类似。所不同的是，由于输入的阶跃函数在t0时不为零，因而系统的阶跃响应包括齐次解和特解两部分。,2.3.3 冲激响应和阶跃响应的关系 冲激响应和阶跃响应完全由系统本身决定。这两种响应之间有一定关系，当已求得其中之一时，另一响应即可确定。根据线性时不变系统的线性性质可知，若系统的输入由原激励函数改为其导数，则输出也由原响应函数变为其导数。,2.4 卷 积 及 其 性 质,在
9、线性时不变系统中，通常可以把一个较为复杂的信号分解为一系列基本信号（冲激信号或阶跃信号）之和，再根据线性系统的叠加原理，把这些基本信号分别引起的响应求和即为系统的响应，从而把复杂信号的分析简单化。,在这种分析中，用到一个重要的数学工具就是卷积积分，简称卷积。卷积的原理就是将信号分解为冲激信号之和，再利用上一节介绍的线性时不变系统的冲激响应h(t)，从而求得系统对任意激励信号的响应。,2.4.1 连续信号的卷积 1.信号的分解 把任意信号x(t)分割成许多相邻的幅度不等的矩形窄脉冲，如图2.5所示。,图2.5 信号分解为冲激序列,任意信号x(t)可以分解为一系列冲激信号之和，而信号间的不同仅仅在
10、于它们的冲激强度x(t)不同。因此求解某信号通过某系统后的响应，就转化为求解冲激信号通过系统的响应，然后利用线性时不变系统特性，进行冲激响应的叠加和延时即可求得该系统因信号x(t)而产生的响应。,2.4.2 卷积积分性质 卷积积分是一种数学运算方法，它具有一些特殊性质，这里给出几个卷积运算的常用性质，利用这些性质可以简化卷积计算。,1.卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算，某些代数定律也适用于卷积运算，这些代数定律是交换律、分配律和结合律。,(1)交换律 x1（t）*x2（t）=x2（t）*x1（t） (2)分配律 x1（t）+x2（t）*x3（t）= x1（t）*x3（t）+x2（t）
11、*x3（t） (3)结合律 x1（t）*x2（t）*x3（t）= x1（t）*x2（t）*x3（t）,2.信号与奇异信号的卷积 (1)信号x(t)与冲激信号（t）的卷积等于x(t)本身，即 x（t）*（t）=x（t） 当 x（t）=（t） 时，有 （t）*（t）=（t）,(2)信号x(t)与阶跃信号u（t）的卷积等于信号x(t)的积分,3.卷积的延时性质 若x1（t）*x2（t）=y（t） 则 x1（t）*x2（t-t0）=x1（t-t0）*x2（t）=y（t-t0） x1（t-t1）*x2（t-t2）=y（t-t1-t2） 两个信号延时后的卷积，等于两个信号卷积后的延时，延时量等于两个信号分
12、别延时量之和。,2.4.3 卷积的应用 系统的零状态响应 2.4.4 卷积积分的计算 卷积积分运算本质上就是定积分运算，但是这种定积分运算常常比较复杂。通常有两种典型方法进行运算，即解析法和图解法。,1.解析法 解析法主要是根据卷积积分的定义和性质进行卷积计算，要求进行卷积的信号必须能用解析函数式表达。,2.图解法 图解法是通过信号波形的反转、时移、相乘、积分等基本运算进行卷积积分的方法，当信号仅用波形的形式给出时，用图解法进行卷积分析是方便的。,图解法能直观地给出卷积的计算过程，形象地表明了卷积的含义，非常有助于加深对卷积概念的理解，必须加以掌握。设x1（t）*x2（t）=y（t），其图解法
13、的一般步骤如下。 (1)替换：将信号x1（t）和x2（t）的自变量t替换为。 (2)反转：对x2（）的波形进行反转，得到镜像对称的x2（-）。,(3)时移：将x2（-）沿轴移动时间t1，得到信号x2（t1-）。注意：移动的方向取决于x1（）的位置。 (4)相乘：将信号x1（）和信号x2（t1-）相乘，得到信号x1（）x2（t1-）。,(5)积分：沿轴对(4)中得到的乘积信号进行积分，得到的积分值是t1时刻x1（）x2（t1-）曲线下的面积。 (6)以t1为变量，将信号x2（t1-）连续沿轴移动，从而得到在任意时刻t的卷积积分，它是时间t的函数。,(1)积分的上限和下限是参与卷积的两个信号重叠部
14、分的边界，做出计算卷积的草图有助于正确确定积分的上、下限。 (2)卷积结果的时限等于两个参与卷积信号的起点之和和终点之和的区间。,2.5 用MATLAB进行连续时间系统时域分析,2.5.1 用MATLAB解微分方程 利用MATLAB的符号工具箱中的函数dsolve可以求解常微分方程的符号解。调用格式：r=dsolve(eq1，eq2，cond1，cond2，v) r=dsolve(eq1，eq2，cond1， cond2， v),在MATLAB中，约定D表示一阶微分，D2表示二阶微分，D3表示三阶微分符号Dy相当于dy/dt。函数dsolve把D后面的变量当作因变量，并且默认这些变量是对自变量
15、t求导，也可以指定其他自变量v。在使用该函数时，不能把D当作因变量。 微分方程的初始条件用cond来表示。如果没有给出初始条件cond，则系统认为是求微分方程的通解，在通解里包含积分常数C1、C2、C3等。,2.5.2 用MATLAB计算冲激响应 2.5.3 用MATLAB计算阶跃响应,2.5.4 用MATLAB计算卷积 在MATLAB中，符号卷积是利用符号积分函数指令int实现的。其格式为 int(S) %关于符号变量的不定积分。符号变量是用sym定义的，S是被积函数表达式。,int(S，v) %关于符号变量v的不定积分。其中v是用sym定义的符号变量。 int(S，v，a，b) %关于符号变量v的定积分。a和b分别为积分上限和下限，可取数字或变量。,
