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1、今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 专题四 导 数导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理41 导数概念与导数的运算【知识要点】1导数概念：(1)平均变化率：对于函数yf(x)，定义为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率换言之，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数f(x)相应地有增量f(x0x)f(x0)，则比值就叫做函数y
2、f(x)从x0到x0x之间的平均变化率(2)函数yf(x)在xx0处的导数：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，即.(3)函数yf(x)的导函数(导数)：当x变化时，f(x)是x的一个函数，我们称它为函数yf(x)的导函数(简称导数)，即.2导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k(x0)3导数的运算：(1)几种常见函数的导数：(C)0(C为常数)；(xn)nxn1(x0，nQ*)；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axlna(
3、a0，且a1)；(a0，且a1)(2)导数的运算法则：u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；.(3)简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的导数：设函数yf(u)，ug(x)，则函数yf(u)fg(x)称为复合函数其求导步骤是：，其中表示f对u求导，表示g对x求导f对u求导后应把u换成g(x)【复习要求】1了解导数概念的实际背景；2理解导数的几何意义；3能根据导数定义求函数yC，yx，yx2，yx3，的导数；4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；5理解简单复合函数(仅限于形如f(axb)导数的求法【例题分析】例1
4、 求下列函数的导数：(1)y(x1)(x21)；(2)；(3)ysin2x；(4)yexlnx解：(1)方法一：y(x1)(x21)(x1)(x21)x21(x1)2x3x22x1方法二：y(x1)(x21)x3x2x1，y(x3x2x1)3x22x1(2)方法一：方法二：，.(3)方法一：y(sin2x)(2sinx cosx)2(sinx)cosxsinx(cosx)2(cos2xsin2x)2cos2x方法二：y(sin2x)(2x)cos2x22cos2x(4)【评析】理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：分析函数yf(x)的结构特
5、征；选择恰当的求导法则和导数公式求导数；化简整理结果应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量(如(1)(2)题的方法二较方法一简捷)对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将sin2x表示为sinx和cosx的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解方法二较方法一简捷对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确例2 (1)求曲线yx2在点(1，1)处的切线方程；(2)过点(1，3)作曲线yx2的切线，求切线的方程【分析】对于(
6、1)，根据导数的几何意义：函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程对于(2)，注意到点(1，3)不在曲线yx2上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程解：(1)曲线yx2在点(1，1)处的切线斜率为y2xx12，从而切线的方程为y12(x1)，即2xy10(2)设切点的坐标为根据导数的几何意义知，切线的斜率为y2x|2x0，从而切线的方程为因为这条切线过点(1，3)，所以有，整理得，解得x01，或x03从而切线的方程为y12(x1)，或y96(x3)，即
7、切线的方程为2xy10，或6xy90【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf (x0)；切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程例3设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f (x)的最小值为12求a，b，c的值【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及推理能力和运算能力题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值解：f
8、(x)为奇函数， f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc， c0f (x)3ax2b的最小值为12， b12又直线x6y70的斜率为，因此，f (1)3ab6， a2综上,a2，b12，c0例4 已知a0，函数，x(0，)设，记曲线yf(x)在点M(x1，f(x1)处的切线为l(1)求l的方程；(2)设l与x轴的交点是(x2，0)，证明：.【分析】对于(1)，根据导数的几何意义，不难求出l的方程；对于(2)，涉及到不等式的证明，依题意求出用x1表示的x2后，将x2视为x1的函数，即x2g(x1)，结合要证明的结论进行推理解：(1)对f(x)求导数，得，由此得切线l的方程为：(2)依题意，
9、切线方程中令y0，得由，及，有x20；另一方面，从而有，当且仅当时，.【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明涉及的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合，具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法本题中的(2)在证明时，还可用如下方法：作法，利用平均值不等式，例5 设函数，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求
10、出此定值解：(1)，于是解得或因为a，bZ，所以(2)证明：已知函数y1x，都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而，可知，函数g(x)的图象按向量a(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形(3)证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令x1得，切线与直线x1交点为；令yx得y2x01，切线与直线yx交点为(2x01，2x01)直线x1与直线yx的交点为(1，1)；从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值2练习41一、选择题：1(tanx)等于( )(A)(B)(C)(D)2设f(x)xlnx
11、，若f (x0)2，则x0等于( )(A)e2(B)e(C)(D)ln23函数yax21的图象与直线yx相切，则a等于( )(A)(B)(C)(D)14曲线在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )(A)(B)4e2(C)2e2(D)e2二、填空题：5f (x)是的导函数，则f (1)_6若函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f (1)_7过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_；切线的斜率为_8设函数f(x)xekx(k0)，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_三、解答题：9求下列函数的导数：(1)yxex；(2)yx3cos
12、x；(3)y(x1)(x2)(x3)；(4)10已知抛物线yax2bxc经过点A(1，1)，B(2，1)，且该曲线在点B处的切线方程为yx3，求a、b、c的值11求曲线在交点处的两条切线的夹角的大小42 导数的应用【知识要点】1利用导数判断函数的单调性：(1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数f(x)在区间(a，b)内可导，如果恒有f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果恒有f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递减值得注意的是，若函数f(x)在区间(a，b)内有f (x)0(或f (x)0)，但其中只有有限个点使得f (x)0，则函数f(x)在
13、区间(a，b)内仍是增函数(或减函数)(2)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”2利用导数研究函数的极值：(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，x0是极大值点；如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，x0是极小值点(2)需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点如yx3在x0处的导数值为零，但x0不是函数yx3的极值点也就是说可导函数f(x)在x0处的导数f (x0)0是该函数在x0处取得极值的必要但不充分条件(3)函数f(x)在区间a，b上的最值：f(x)在区间a，b上的最大值(或最小值)是f(x
