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1、今天比昨天好 这就是希望 高中数学小柯工作室 专题十一 概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一
2、步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识111 概率(一)【知识要点】1事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用W 表示2频率与概率频率：在相同的条件S下，重复n次试
3、验，观察某个事件A是否出现，称n次试验中事件A的出现次数m为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率概率：一般的，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做P(A)显然有0P(A)1不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间3互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并，记做CAB互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件互斥事件加法公式：如果事件A、B互斥，则事件AB发生的概率等于这两个事件分别发生
4、的概率和，即P(AB)P(A)P(B)如果A1，A2，An两两互斥，那么事件A1A2An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件事件A的对立事件记作，满足P()1P(A)概率的一般加法公式(选学)：事件A和B同时发生构成的事件D，称为事件A与B的交(积)，记作DAB在古典概型中，P(AB)P(A)P(B)P(AB)4古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均
5、等的，则称这个试验为古典概型古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，An，则有P(A1A2An)1且概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n(W )，随机事件A包含的基本事件数为n(A)，则p(A)，即5几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A理解为区域W的一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等几何概型中事件A的概率定义：，其中m W 表示区域W 的几何度量
6、，m A表示子区域A的几何度量随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力6条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(BA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率一般把P(BA)读作“A发生的条件下B发生的概率”在古典概型中，用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则有P(BA)事件的独立性：设A、B为两个事件，如果P(BA)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，并称事件A、B为相互独立事件若A、B为两个相互独立事件，则A与、
7、与B、与也都相互独立若事件A与事件B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)【复习要求】1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式3理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率4了解随机数的意义，了解几何概型的意义5在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如下表： 命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该队员射击一次，(1)射中9环或10
8、环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P(A)1P()求解解：设事件“射击一次，命中k环”为事件Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，则P(A)P(A10)P(A9)0.60(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B，则P(B)P(A10)P(A9)P(A8)0.78(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B的对
9、立事件，则P()1P(B)0.22【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组()求A1被选中的概率；()求B1和C1不全被选中的概率【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解解：()从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间W(A1，B1，C1
10、)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)由18个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B
11、3，C1)，(A1，B3，C2)事件M由6个基本事件组成，因而()用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，事件由3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算33218本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，
12、选出A1只有一种可能，故所求概率为例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数本题第二问是条件概率问题做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显
13、然三个事件是互斥事件解：(1)从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3412种结果，则所求概率(或)(2)设“第一次摸到黑球”为事件A，“第二次摸到白球”为事件B，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件AB，又，P(AB)，所以或(或)(3)第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但
14、要注意分类讨论，做到不重不漏要正确识别条件概率问题，理解P(A)，P(AB)，P(BA)的含义例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是_(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去则两人能会面的概率是_(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为_【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解解：(1)本题可转化为：“在长为6m的线段上随机取点，恰好落在2m到4m间的概率为多少?”易求得(2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，解得(3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”解得【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域W；把随机事件A转化为与之对应的区域A；利用概率公式计算常用的几何度量包括：长度、面积、体积例5 设有关于x的一元二次方程x22axb2
