《工程力学 教学课件 ppt 作者 章志芳 16816_工程力学(第3章)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程力学 教学课件 ppt 作者 章志芳 16816_工程力学(第3章)（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第3章 空 间 力 系,图3.1 空间力系,本章主要讨论力在空间坐标轴上的投影、力对轴之矩的概念与运算以及空间力系平衡问题的求解方法。,3.1 力在空间直角坐标轴上的投影,力在空间坐标轴上投影的概念与力在平面坐标轴上投影的概念基本相同，由于力所对应的参考系不同，计算方法也有所不同。力在空间坐标轴上的投影有两种运算方法，即直接投影法和二次投影法。,3.1.1 直接投影法 设力F与空间坐标轴x、y和z的夹角分别为、和，如图3.2所示，则F在空间直角坐标轴上的投影分别为 （3.1）,力在轴上的投影是代数量，其正负号规定为：从力的起点到终点的连线与坐标轴正向一致时，力的投影为正；反之为负。而力沿坐标
2、轴的分量为矢量。,3.1.2 二次投影法 当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法，即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个矢量进一步投影到坐标轴上。,如图3.3所示，已知力F的值和F与坐标轴z的夹角 ，以及力F在xy平面上的投影Fxy与x轴的夹角，力F在x、y和z轴上的投影可列写为 （3.2）,图3.3 二次投影法,必须注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影为矢量。,若已知力F在三个坐标轴上的投影Fx、Fy、Fz，则合力F的大小和方向可由下式求得 （3.3）,式中，、 和 分别为力F与x、y和z轴间所夹的锐角。,3.1.3 合力投影定理 设有一空间汇交力系F
3、1、F2、Fn，运用力的平行四边形法则，可将其逐步合成为一个合力FR，故有 FR =F1 + F2 + + Fn = （3.4）,将上式向x、y、z三个坐标轴投影，可得 （3.5）,式（3.5）又称为合力投影定理，它表明合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。,例3.1 在边长a =50mm，b=100mm，c=150mm的六面体上，作用有4个空间力，如图3.4所示。F1=100N，F2=100N，F3=200N，F4=200N。试计算各力在三个坐标轴上的投影。,图3.4 六面体上的空间力,解：力F1与y轴平行，故直接投影即可得到F1x = 0，F1y = 100N，F1z = 0
4、 力F2与坐标平面Oyz平行，故直接投影即可得到,力F3为空间力，所在平面ABCD与坐标平面Oyz相垂直，故用二次投影法求解。首先将力F3向x轴和平面Oyz上投影，其中,得 F3x = F3cos = 200N 0.802 = 160.4N F3yz = F3sin = 200N 0.597 = 119.4N,再将力F3yz投影至y和z轴上，得 F3y = F3yz cos = 119.4N 0.894 = 106.7N F3z = F3yz sin = 119.4N 0.448 = 53.5N F4x = 0，F4y = 0 F4z = 200N,3.2 力对轴之矩,3.2.1 力对轴之矩的
5、概念 在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使物体绕定轴转动的效应，引入力对轴之矩的概念。,如图3.5所示，可将推门的力F在作用点A处分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的平面内的分力Fxy。由经验可知，分力Fz不能使门转动，力Fz对z轴之矩等于零。,图3.5 力对轴之矩,只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。若分力Fxy所在平面与z轴的交点为O，则力Fxy对z轴之矩可用力Fxy对O点之矩来计算。,设O点到力Fxy作用线的距离为d，于是 Mz (F) = Mz (Fxy) = MO (Fxy) = Fxyd （3.6）,上式表明，空间力对轴之矩等于力在与轴垂直的平面上的分力对轴与
6、此平面交点之矩。,力对轴之矩的单位为Nm或kNm，它是一个代数量，正负号可用右手螺旋法则判定，如图3.6所示，用右手握住转轴，四指与力矩转动方向一致，伸开拇指，若拇指指向与转轴正向一致，则力对该轴之矩为正；反之，为负。,也可以从转轴正方向看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针转向的力矩为负。 当力的作用线与轴平行或相交时，力对轴之矩等于零，力不能使物体绕该轴转动。,图3.6 力对轴之矩正负的判断,3.2.2 合力矩定理 设有一空间汇交力系F1、F2、Fn，其合力为FR，则合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和，表达式为,（3.7） 式（3.7）称为合力矩定理。,例3.2 水平圆轮上A处有一
7、力F=100N作用，F在垂直平面内，且与过A点的切线形成的夹角为60 ，OA与y轴的夹角为45 ，h=r=1m，如图3.7（a）所示。,试求： （1）力F在x、y、z轴上的投影； （2）力F对x、y、z轴之矩。,图3.7 例3.2图,解： （1）计算投影。 根据已知条件，应用二次投影法求解，如图3.7（b）所示。,先将力F向Axy平面和z轴上投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x，y轴投影，便得到Fx和Fy 。,于是有,（2）计算力对轴之矩。 先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到3个分量Fx，Fy，Fz，如图3.7（b）所示，它们的大小分别等于投影Fx，Fy，Fz的大小。,根据合力矩定
8、理，求得力F对x、y、z三轴之矩如下： Mx (F) = Mx (Fx) + Mx (Fy) + Mx (Fz) = 0 Fy h + Fz rcos45 = 35.4N 1m + 86.6N 1m cos45 = 25.8N m,My (F) = My (Fx) + My (Fy) + My (Fz) = Fx h 0 Fz rsin45 = 35.4N 1m 86.6N 1m sin45 = 96.6N m,Mz (F) = Mz (Fx) + Mz (Fy) + Mz (Fz) = Fxrcos45 + Fyrsin45 + 0 = 35.4N 1m cos45 + 35.4 1m si
9、n45 = 50.1N m,3.3 空间力系的平衡方程式及应用,1空间任意力系平衡方程 与平面任意力系相同，空间任意力系向一点简化，可以得到一个主矢和一个主矩。当主矢和主矩同时为零时，物体处于平衡状态。,因此，空间力系的平衡条件为： （3.8）,式（3.8）表达了空间任意力系平衡的必要和充分条件，即：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和分别等于零。 式中6个方程各自独立，利用该方程组可以求解6个未知量。,2空间汇交力系平衡方程 （3.9）,3空间平行力系平衡方程（设各力与z轴平行） （3.10）,4空间力系平衡方程的应用 求解空间力系平衡问题的基本方法与步骤与平面力系
10、相同，即：,（1）选择研究对象，取分离体，画受力图。 （2）建立空间直角坐标系，列平衡方程。 （3）代入已知条件，求解未知量。,正确地选择研究对象，画出分离体的受力图是解决问题的关键，表3.1列出了空间常见约束的类型及约束力的表示法。,例3.3 一三角吊架由球铰结构连接而成，如图3.8（a）所示。悬挂物体重G=100kN，吊架三根杆与吊索间的夹角均为30 ，与地面的夹角均为60 ，不计杆自重，三角形ADC为正三角形。试求三杆受力。,图3.8 三角吊架受力图及投影图 （a）三杆的受力图；（b）各力在Oxy平面内的投影图,解：取顶点球铰及重物为研究对象，三杆均为二力杆，画受力图如图3.8（a）所示
11、。B铰受力G、FAB、FCB、FDB组成空间汇交力系。,建立空间坐标系Oxyz，如图3.8（a）所示，各力在Oxy平面内的投影图如图3.8（b）所示，列平衡方程,解得 FAB = FCB = FDB = 38.5kN,表3.1 空间常见约束的类型及约束力的表示法,例3.4 图3.9所示为直齿圆柱齿轮轴的受力情况。圆周力Ft1=3.58kN，径向力Fr1=1.3kN，Fr2=2.6kN，分度圆的半径rC=100mm，rD=50mm，不计自重。求齿轮圆周力Ft2及轴承的约束反力。,解：取齿轮轴AB连同齿轮C和D为研究对象，其受力图如图3.9（a）所示。由图可知，齿轮轴共受8个力作用，为空间力系。,
12、对于空间力系的解法有两种：一是直接应用空间力系的平衡方程求解；二是将空间力系转化为平面力系求解，即把空间的受力图投影到三个坐标平面上，画出主视图、俯视图、侧视图。分别列出它们的平衡方程，同样可求解出所求的未知量。本题分别用两种方法求解。,图3.9 直齿圆柱齿轮轴的受力情况 （a）齿轮轴及齿轮的受力图；（b）将空间力系投影到Axy平面内；（c）将空 间力系投影到Ayz平面内；（d）将空间力系投影到Axy平面内,方法一：如图3.9（a）所示，由式（3.8）可列出平衡方程。,解得 FAx = 0，FAz = 1.73kN， Ft2 = 7.16kN，FBx = 3.58kN， FBz = 2.17k
13、N,方法二：首先将图3.9（a）所示的空间力系分别投影到三个坐标平面内，如图3.9（b）、（c）、（d）所示。然后分别写出各投影面上的力系相应的平衡方程式，再联立解出未知量。,（1）在Axz平面内，如图3.9（b）所示。 由 解得 Ft2 = 7.16kN,（2）在Ayz平面内，如图3.9（c）所示。 由 解得 FAz = 1.73kN，FBz = 2.17kN,（3）在Axy平面内，如图3.9（d）所示。 由 解得 FAx = 0，FBx = 3.58kN,用方法二解题时，关键在于正确地将空间力系投影到三个坐标平面上，转化为平面力系。对比两种方法可以看出，后一种方法较易掌握，适用于受力较多的轴类构件。,
