多元函数积分学复习

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1、高等数学下册复习提要 张祥芝 1 高等数学下册复习高等数学下册复习(2)-多元函数积分学多元函数积分学 本章知识点本章知识点: 交换二重积分的积分次序（） 利用极坐标计算二重积分（） 先一后二或先二后一计算三重积分（） 利用球坐标计算三重积分（） 利用格林公式计算曲线积分（） 利用高斯公式计算曲面积分（） 第一类曲线、第一类曲面积分的计算（） 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（） 1. 二重积分的计算二重积分的计算 例 1. 计算d d D xyxy ,其中D为直线4yx和抛物线 2 2yx所围成的平面区域. 析 1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积 分

2、都能积分出来，且使计算尽量简单. 2）通过二重积分改变积分次序，其步骤是： 由所给二次积分，写出D的不等式表示，还原为积分区域D，最好画出D的图形，再 将D按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分. 3）极坐标的选取一般根据积分区域和被积函数的情况来决定. 如果被积函数的形式为 )( 22 yxf及积分区域为圆域时经常用极坐标. 有时用直角坐标函数积不出也可采用极坐 标. 解 如果将D视为 X型域，应先对y积分，则需将D分 为两部分，所以将D视为 Y型域，先对x积分. 2 4 : 2 24 y xy D y 于是 2 2 4 2 444 22 2 2 d dddd 2 y y

3、y y D x xyxyyxyxyy 4 546 4 2 32 2 2 118 4d890 2424324 yyy y yyyy . 例 2. 计算 1 0 sin dd y y x yx x . 解 因 sin d y y x x x 不能用初等函数形式表达出来， 故无法计算.通过交换积分次序来改变这 种状况，所给的二次积分是将D视为Y 型区域，即: 01 yxy D y ，可见D是由 x y o 2 4 xy2 2 4 xy 高等数学下册复习提要 张祥芝 2 ,xy xy及0,1xx围成. 现将D看作X 型区域， 2 : 01 xyx D x ， 于是， 2 111 2 000 sinsi

4、nsin dddd()d yx yx xxx yxxyxxx xxx 111 11 00 000 sin dsin dcos |cos |cos1 sin1xxxxxxxxxdx . 例 3. 求 22 ()d d D xyyxy ，其中 D 是由圆 22 4xy和 22 (1)1xy所围成的平面区域. 解 将积分区域 D 表为大圆 D1= 22 ( , )4x y xy减去小圆 D2= 22 ( , ) (1)1x yxy，再利用对称性与极坐标变换即可。 由对称性 d d0 D yxy . 12 222222 d dd dd d DDD xyxyxyxyxyxy 3 222cos 2 22

5、000 2 ddddrrrr 16 (32). 9 所以，I =16(32) 9 . 练 1. 计算yx y x D dd ，其中D为由02 ,2, 2xyxyxy所围成的第一象限部分 练 2. 计算积分 D y exd 2 2 ，其中D是由直线1y及xy 围成的区域. 练 3. 计算yx x y D ddarctan ，其中D为圆周4 22 yx和1 22 yx及直线 xyy , 0所围成的在第一象限的区域. 练 4. 计算 yxyx D dd 22 ，其中D为圆周xyx2 22 所围成的在区域. 2. 三重积分的计算三重积分的计算 例 1. 设实数0a ，求由曲面 222 zxya与平面

6、2 2zxa围成的区域的体积. x y o2 1 D 1 2 D x y o1 2 xy xy 1 高等数学下册复习提要 张祥芝 3 析 计算三重积分的步骤一般为: 1.画出积分区域图; 2.根据被积函数及积分区域的类型确定坐标系(直角坐标、柱坐标、球坐标).如果区域 是由上下两个曲面,侧面是柱面围成,一般用投影法(也叫先一后二法)计算;如果被积函数只 含有一个变量,且垂直相应坐标轴的截面面积易求的,可以选用截面法(也叫先二后一法);如 果被积函数含有两个变量的平方和且相应的投影区域是圆域或圆域的一部分可以选用柱坐 标;如果被积函数是三个变量的平方和,且积分区域是球面或锥面围成,可以选用球坐标

7、. 3.确定积分变量的上下限. 4.计算各层积分. 解 先求曲面与平面的交线在 XOY 面的投影,联立 222 2 2 zxya zxa ， 解得 22 (1)1xy. 所以积分区域在坐标面XOY上的投影为 22 ( , ) (1)1 xy Dx yxy. 那么， 2 222 2 d ddd dd xy x a vD xya Vxyzxyz 22 (2)d d xy D xxyxy 1cos 21 sin 2 00 d(1) d. 2 xrt y rt trrr 例 2. 计算 22 ()d ddxyxyz ，其中是由 22 16()zxy， 22 4()zxy和 64z所围成. 解 在xOy

8、面内的投影域为环域 416 22 z yx z ，且被积函数为 22 yx ，可采用 先二后一法计算： 64 222 0 ()d dddd d z D xyxyzzrrr 6422 3 004 ddd2560 z z zrr . 练 1. 计算 2 d ddzxyz ， 其中是由 2222 xyzR与 222 2xyzRz所围 的公共部分)0(R. x y z o 2 a 1 高等数学下册复习提要 张祥芝 4 练 2. 计算d ddzxyz ，其中是由 22 2zxy与 22 zxy所围的区域. 练 3. 计算 22 ()d ddxyxyz ，其中是由 22 zxy与 22 1zxy所 围.

9、3. 第一类曲线与第一类曲面积分第一类曲线与第一类曲面积分 例 1. 计算 L syxxd)( 22 ,其中L是半圆周 2 4xy. 析 此题考察第一类曲线积分的计算方法,其计算步骤如下: 1.画出积分曲线; 2.写出积分曲线的参数方程及参数的变换范围; 3.求出弧微分 dttytxdydxds 2222 )()(; 4.将曲线积分转化为参数的定积分. 5.在计算过程中注意被积函数是否有奇偶性,积分曲线是否有对称性,以便简化计算. 解 方法一 利用曲线的参数方程转化为定积分. , 0 ,sin2 ,cos2 : t ty tx L,所以 dttttdsyxx L 0 2222 )cos2()s

10、in2()4cos2()( 8)4cos2(2 0 dtt. 方法二 利用对称性 LLLL ssyxsxsyxx8d40d)(dd)( 2222 . 例 2. 求面密度为 1 的锥面 22 yxz（) 10z）对z轴的转动惯量. 解 SyxSyxIzd)(d)( 2222 ， 曲面 1:,: 2222 yxDyxz xy ，yxyxzzS yx dd2dd1d 22 xy D z yxyxSyxIdd)(2d)( 2222 2 2 . 练 1. 计算 syx L d)32( 22 ，其中)(2: 22 yxyxL. 练 2. 计算sxzyzxy L d)( ，其中L为球面1 222 zyx与平

11、面0zyx 的交线. 练 3. 计算 S Syxd)( 2 ，其中0,0 ,: 222 ahzayxS. 练 4. 计算 S Sxyz d，其中10 ,: 22 zyxzS. 高等数学下册复习提要 张祥芝 5 33 x y o 2 4. 第二类曲线积分与格林公式第二类曲线积分与格林公式 例 1. 计算 l xx yxyxxyyd)cose (d)3sine ( 2 ，其中 l 为由点)0 , 3(A经椭圆 ty tx sin2 cos3 的上半弧到点)0 , 3(B再沿直线回到 A 的路径 析 1) 这节的题目类型有:封闭曲线积分直接应用格林公式,积分与路径无关取新路径, 求积分表达式的原函数

12、,两类曲线积分的转化等. 2) 遇到第二类曲线的积分的题目,首选格林公式. 3) 当积分曲线不是封闭曲线时,可添加辅助线使成为封闭的. 4) 若被积函数在曲线所围的区域里有奇点时,不可使用格林公式.这时,一般用曲线的 参数方程转化为定积分计算.有些情况也可做辅助线将奇点包围,然后在多连通区域上使用 格林公式. 5) 注意检查积分曲线的封闭性,被积函数的解析性,二重积分的正负号,函数QP,的次 序以及其偏导数. 解 xyQxyyP xx cose,3sine 2 ，由格林公式 原式 l xx yxyxxyyd)cose (d)3sine ( 2 D dd yx y P x Q = D xx yx

13、yydd3cose () 1cose( = D yxdd2=23 2 1 2=6. 例 2. 计算 L yyxxyxyId)(d)21 ( 22 ,其中L是从原点沿直线xy到点) 1 , 1 ( 的一段弧. 若yyxxyxyd)(d)21 ( 22 是某个函数的全微分, 求出一个这样的函数. 解 10:,:xxyL, 1 0 222 d)()21 (xxxxxI 3 4 )71 ( 1 0 2 dxx. 因为 )( 2yx y P x Q ,所以存在函数),(yxu使得yyxxyxyd)(d)21 ( 22 是其全 微分. 下面用两种方法求),(yxu. 高等数学下册复习提要 张祥芝 6 方法一 yyxxyxyyxu yx d)(d)21 (),( 2 ),( )0 , 0( 2 yyxx xy d)(d 00 2 322 3 1 yxyyxx. 方法二 2,2 222 )()(2 )(d)21 (),( yxyxyx y u yxyyxxxyxyyxu 2, )(yy cyy 3 3 1 )( 故cyxyyxxyxu 322 3 1 ),(. 练 1计算 l xx yyx y yd) 2 1 cose (d) 2 sine ( 2 ，其中 l 是上半圆周xyx2 22 )0