《MATLAB基础与应用教程 教学课件 ppt 蔡旭晖 刘卫国 蔡立燕 第4章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLAB基础与应用教程 教学课件 ppt 蔡旭晖 刘卫国 蔡立燕 第4章（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 线性代数中的数值计算,【本章学习目标】 掌握生成特殊矩阵的方法。 掌握矩阵分析的方法。 掌握求解线性方程组的各种方法。 了解矩阵的稀疏存储方式。,4.1 特殊矩阵的生成,4.1.1 通用的特殊矩阵 zeros函数：产生全0矩阵，即零矩阵。 ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。 eye函数：产生单位矩阵，即对角线上的元素为1、其余元素为0的矩阵。 rand函数：产生01均匀分布的随机矩阵。 randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵。 这几个函数的调用格式相似，如果这个函数的参数只是一个，那么MATLAB将会创建一个方阵，行数和列数均为这个参数；如果这个函数的参数有两
2、个，那么第一个参数代表行数，第二个参数代表列数。下面以产生零矩阵的zeros函数为例进行说明。 zeros函数的调用格式如下。 zeros(m)：产生m m零矩阵。 zeros(m,n)：产生m n零矩阵。当m = n时，等同于zeros(m)。 zeros(size(A)：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。,【例4.1】分别建立3 3、3 2和与矩阵A同样大小的零矩阵。 （1）建立一个3 3的零矩阵。 zeros(3) ans= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （2）建立一个2 3的零矩阵。 zeros(2,3) （3）设A为2 3矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样
3、大小的零矩阵。 A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵A zeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,【例4.2】建立随机矩阵： （1）在区间10, 30内均匀分布的4阶随机矩阵。 （2）均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用rand函数，假设得到了一组满足(0,1)区间均匀分布的随机数xi，则若想得到在任意a, b区间上均匀分布的随机数，只需用yi = a + (b a)xi计算即可。产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机矩阵使用randn函数，假设已经得到了一组标准正态分布随机数xi，如果想更一般地得到均
4、值为、方差为2的随机数，可用yi = + xi计算出来。针对本例，命令如下： a=10; b=30; x=a+(b-a)*rand(4) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(4),4.1.2 面向特定应用的特殊矩阵 1魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1，2，3，n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。 【例4.3】将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行、每列及对角线的和均为565。 一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65，对其
5、每个元素都加100后这些和变为565。完成其功能的命令如下： M=100+magic(5) M= 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109,2范得蒙矩阵 范得蒙（Vandermonde）矩阵的最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 3希尔伯特矩阵 希尔伯特（Hilbert）矩阵是一种
6、数学变换矩阵，它的每个元素hij = 1/(i + j 1)。在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。 专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n),4托普利兹矩阵 托普利兹（Toeplitz）矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列、y为第一行的托普利兹矩阵。这里x、y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 5伴随矩阵 生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式
7、的x3 7x + 6的伴随矩阵，可使用如下命令： p=1,0,-7,6; compan(p) ans= 0 7 -6 1 0 0 0 1 0,6帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x + y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡（Pascal）矩阵，它的元素p1j = 1，p i1 = 1，p ij = p i 1, j 1 + p i 1, j（i1，j1）。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。 【例4.5】求(x + y)4的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(5) ans= 1 1 1 1 1 1 2 3
8、 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 矩阵次对角线上的元素1，4，6，4，1即为展开式的系数，即 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4,4.2.1 矩阵结构变换 1对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。 （1）提取矩阵的对角线元素 设A为m n矩阵，函数diag(A)用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。例如： A=1,2,3;4,5,6 A= 1 2 3 4 5 6 D=diag(A) D= 1 5 diag(A
9、,k) 提取第k条对角线的元素。主对角线为第0条对角线；与主对角线平行，往上为第1条，第2条，第n条对角线，往下为第 1条，第 2条，第 n条对角线。,（2）构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V,k)的功能是产生一个n n（n = m + |k|）对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。 例如： diag(1:3,-1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 省略k时，相当于k为0，其主对角线元素即为向量V的元素。,【例4.6】先建立5 5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 用一个对角矩阵左乘一个矩阵时，
10、相当于用对角阵的第一个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵的第二个元素乘以该矩阵的第二行依此类推，因此，只需按要求构造一个对角矩阵D，并用D左乘A即可。命令如下： A=1:5;2:6;3:7;4:8;5:9 D=diag(1:5); D*A %用D左乘A,对A的每行乘以一个指定常数,2三角阵 三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵。所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。 与矩阵A对应的上三角阵B是与A具有相同的行数和列数的一个矩阵，并且B的对角线以上（含对角线）的元素和A对应相等，而对角线以下的元素等于0。求矩阵A的上三角阵的MATL
11、AB函数是triu(A)。 triu(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。 在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k),3矩阵的转置 所谓转置，即把源矩阵的第一行变成目标矩阵第一列，第二行变成第二列依此类推。显然，一个m行n列的矩阵经过转置运算后，变成一个n行m列的矩阵。MATLAB中，转置运算符是单撇号()。,4矩阵的旋转 在MATLAB中，可以很方便地以90为单位对矩阵A按逆时针方向进行旋转。利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90的k倍，当k为负整数时，对矩阵A按顺时针方向进行旋转；当k为1时可省略。例如，将A按逆时针方向旋转9
12、0，命令如下： A=9,37,38;-2,31,8;0,84,5; B=rot90(A) B= 38 8 5 37 31 84 9 -2 0 rot90(A,4) ans = 9 37 38 -2 31 8 0 84 5,5矩阵的翻转 矩阵的翻转分左右翻转和上下翻转。对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换依此类推。 对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。 对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,4.2.2 矩阵求值 1方阵的行列式值 把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中，
13、求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。例如： A=1:3;2:-1:0;12,5,9 A= 1 2 3 2 1 0 12 5 9 B=det(A) B= -33,2矩阵的秩与迹 （1）矩阵的秩 rank(A) （2）矩阵的迹 矩阵的迹即矩阵的对角线元素之和。 trace(A)。,3向量和矩阵的范数,函数norm用于计算矩阵或向量的范数，norm函数的格式如下。 norm(X,1)：求向量或矩阵X的1 范数。 norm(X)、norm(X,2)：求向量或矩阵X的2 范数。 norm(X,inf)：求向量或矩阵X的 范数。,4矩阵的条件数 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘
14、积，即。这样 定义的条件数总是大于1的。条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。A有3种范数，相应地可定义3种条件数。在MATLAB中，计算A的3种条件数的函数如下。 cond(A,1)：计算A的1 范数下的条件数。 cond(A)或cond(A,2)：计算A的2 范数数下的条件数。 cond(A,inf)：计算A的 范数下的条件数。,4.2.3 矩阵的特征值与特征向量 对于n阶方阵A，求数和向量，使得等式A = 成立，满足等式的数称为A的特征值，而向量称为A的特征向量。 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有如下3种。 E = e
15、ig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。 V,D = eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。 V,D = eig(A,nobalance)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。 一个矩阵的特征向量有无穷多个，eig函数只找出其中的n个，A的其他特征向量，均可由这n个特征向量的线性组合表示。,【例4.7】用求特征值的方法解方程： 3x5 7x4 + 5x2 + 2x 18 = 0 先构造与方程对应的多项式的伴随矩阵A，再求A的特征值。A的特征值即为方程的根。命令如下： p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %构造伴随矩阵A x1=eig(A) %求A的特征值 x1= 2.1837 1.0000 +1.0000i 1.0000 -1.0000i -0.9252 +0.7197i -0.9252 -0.7197i x2=roots(p)
