优化,报童,变分模型

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1、优化模型,优化模型的数学意义,优化问题是在工程技术、经济管理和科学研究等领域 中最常遇到的一类问题。设计师要求在满足强度要求等 条件下合理选择材料的尺寸；公司经理要根据生产成本 和市场需求确定产品价格和生产计划，使利润达到最 大；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用达到最 低。 ,本章讨论的是用数学建模的方法来处理优化问题：即 建立和求解所谓的优化模型。注意的是建模时要作适当 的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的 最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费 用。如果在建模的基础上再辅之以适当的检验，就可以 期望得到实际问题的

2、一个比较圆满的回答。,本章介绍较为简单的优化模型，归结为微积分中的极 值问题，因而可以直接使用微积分中的方法加以求解。,当你决定用数学建模的方法来处理一个优化问题时， 首先要确定优化的目标，其次确定寻求的决策，以及决策 受到哪些条件的限制。在处理过程中，要对实际问题作若 干合理的假设。最后用微积分的进行求解。在求出最后决 策后，要对结果作一些定性和定量的分析和必要的检验。,一、存储模型,问题的提出,工厂定期订购原料存入仓库供生产之用；车间一次加 工零件供装配线生产之用；商店成批订购各种商品，放 进货柜以备零售；诸多问题都涉及到一个存储量为多大 的问题：存储量过大，会增加存储费用；存储量过小，

3、会增加订货次数，从而增加不必要的订购费用.,本节讨论在需求稳定的情况下，两个简单的存储模 型: 不容许缺货和容许缺货的存储模型.,1.不容许缺货的存储模型,例 配件厂为装配线生产若干种部件. 轮换生产不同 的部件时因更换设备要支付一定的生产准备费用（与产 量无关）. 同一部件的产量大于需求时需支付存储费用. 已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费为5000 元, 存储费为每日每件一元. 如果生产能力远大于需求， 并且不容许出现缺货，试安排生产计划: 即多少天生产 一次（生产周期）、每次产量多少可使总费用最少？,分析,若每天生产一次，无存储费，生产准备金5000元， 故每天的总费用为500

4、0元；,若10天生产一次，每次生产1000件，准备金5000 元，存储费900+800+100=4500元。平均每天950元。,若50天生产一次，每次生产5000件，准备金5000 元，存储费4900+4800+100=122500元，平均每天 2500元。,以上分析表明: 生产周期过短，尽管没有存储费，但 准备费用高, 从而造成生产成本的提高；生产周期过长, 会造成大量的存储费用, 也提高了生产成本. 由此可以 看到, 选择一个合适的生产周期，会降低产品的成本； 从而赢得竞争上的优势。,模型假设,为处理上的方便，假设模型是连续型的，即周期 ， 产量 均为连续变量.,1.每天的需求量为常数 ；

5、,2.每次生产的准备费用为 每天每件的存储费为,3.生产能力无限大，即当存储量为零时， 件产品可以 立即生产出来.,建模,设存储量为 以 递减，直到 则有,在一个微小时间中段 中，存储费为 因而在一个周期中，总存储 费用为,准备费用为 ，故总费用为,所以，每天的平均费用为,模型求解,原问题转变为使取极小值的问题。利用求极值的方 法，对式求导，并令其为零:,即有:,而,将代入到式，得最小的平均费用为,，被称为经济订货批量公式（EOQ公式）.,结果解释,由，式可以看到，当 （准备费用）提高时，生 产周期和产量都变大；当 存储费增加时，生产周期和 产量都变小；当需求量 增加时，生产周期变小而产量 变

6、大。这些结果都是符合常识的。,以 代入、 式得 元.,注意的是：用此公式计算的结果与原题有一定的误 差，原因在于变量选择的不同.,敏感性分析,讨论参数 对生产周期 的影响.,我们用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度. 对 的敏感程度记为 定义式为,再由 得,而,代入上式，得,同理可得:,即： 每增加 ， 增加 每增加 ， 减 少,注 此模型也可适用于商店的进货问题.,3.容许缺货的模型,下面讨论的是容许缺货的问题. 为此做以下的假设:,生产能力无限大（相对于需求量），容许缺货，每天 每件产品缺货造成的损失费为 但缺货量在下次补足。,建模,因存储量不足而造成缺货时，可以认为存储量 为 负值（如

7、图所示），周期仍记为 是每周期的存储 量，当 时， 故有,在 到 这段缺货时间内需求率 不变， 按原斜率继续下降， 由于规定缺货量需补足，所以在 时数量为 的产品立即达，,使下周期初的存储量恢复到,则每天的平均费用为,与不容许缺货的模型相似，一个周期内的存储费是 乘以图中三角形 的面积，缺货损失费是 乘以三角形 面积 加上准备费，得一周期内的总费用为,解模,为求使 达到最小的 在中分别对 求偏导，并令其为零，即,由第二个方程, 得,再由第一个方程, 得,即,再代入前一式, 有,由于每周期的供货量为 有,记,与不容许缺货模型的结果、进行比较，得到,结果分析 由式知 再由知,此说明周期及供货量应增

8、加，周期初的存储量减少。 缺货损失费 越大， 越小（越接近1），从而,由此说明不容许缺货是容许缺货的特殊情况.,二、生猪出售的最佳时机,一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力， 估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤. 目前生 猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低 0.1元. 问该场该什么时候出售这样的生猪，如果这样 的估计和预测有出入，对结果有多大的影响.,分析 造成价格变化的两大因素,1.资金投入使得成本增加； 2.市场因素使得价格降低.,模型假设 每天投入4元资金使生猪体重每天增加常 数 公斤，生猪出售的价格每天降低常数 （0.1元）。,模型建立,记 时间； 生猪体

9、重； 出售的价格； 出售的收入； 每天的投入； 纯利润。则有,最后得纯利润为：,其中 求使 达到最大值的,模型求解,该问题是二次函数的极值问题。在上式对 求导，并 令其为零，则有,得,敏感性分析,因在上面的讨论中，参数 是预测的，下面讨论当 它们发生变化时对模型价格的影响。,是 的增函数，下图反映了 与 的关系。,1.设每天生猪价格的下降率 不变，研究 变化 对 的影响。由式，得,下表给出了 与 的数据关系。,2.设每天生猪体重的增加 公斤不变，研究 变化 对 的影响。由式得,即 是 的减函数。,用相对改变量来衡量结果对参数的敏感程度。 对 的敏 感程度记为 定义式为,由式，得,再代入式，得,

10、将 代入式，得,此说明: 若每天的体重增加 则出售时间推迟,类似可以定义 对 的敏感度,由式可得,当 时，可得,此说明价格每降低 则出售的时间提早,说明: 该模型的建模和解模都较为简单. 我们的注意 力是放在对模型的结果分析上, 即重点讨论敏感性分析 上. 另外该模型还适用与其它与之类似的模型.,三、报童问题,问题 报童每天清晨从邮局批进报纸进行零售，晚上 将卖不掉的报纸返回邮局进行处理. 售出一份报纸可获 得相应的利润，而处理一份报纸会造成亏损. 为此要考 虑报童如何确定每天的进货量以达到最大利润.,随机性的函数极值问题,模型假设,1.报童知道卖出各个数量的概率的大小.,2.设报童每天批进报

11、纸 份，进价为 元，卖价为 元，处理价为 元.,建模,由假设，报童每卖出一份报纸获利 元，每处理 一份报纸亏损 元。当卖出量 时，报童获利,元，,当卖出量 时，报童获利,元.,由大数定律，报童每天的平均收入因为每天收入的期望 值来表示.,设每天卖出 份报纸的概率为 因而期望收入为,从而问题转变为求出进货量 使期望收入 达到最 大.,解模,为了用微积分的方法解决该问题，将变量连续化，从 而相应的概率函数 用连续型随机变量的概率密度 来表示. 于是由连续性随机变量的数学期望公式,由极值存在的条件，对式求导并令其为零，再由含,参变量积分的求导公式得,整理后得:,即:,再由合比定理得,即,再由概率密度

12、的性质:,从而上式为,由于 是一个常数，当概率密度为已知时，可由 式计算相应的 在统计学中数 又称为 分位数.,数值 是卖出一份报纸的收益与处理一份报,纸所造成亏损的比值。这个比值越大，进报量就应该 大一点，如果处理价 变小，则应该少进一些.,应用举例,设某报亭销售新民晚报，售价为 元，进价为 元，处理价为 元，销售量服从参数为 的指数 分布，求相应的进货量,解 由,即,在Mathematic下计算积分，输入命令.,IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,74,得积分值为0.670441，即进报纸的份数近似为74.,分析，若提高处理价，如处理价为 元，则,输入命令：,Int

13、egrateE(-0.015x)*0.015,x,0,92,得积分值为0.748421，即进货量为92.,四、森林救火问题,问题 在森林发生火灾时，要派出消防人员去灭火. 需要选择合理的方案，使得救火的费用和森林被毁所造 成的损失达到最低.,问题分析,设起火时间为 开始灭火， 时火被扑灭， 在整个灭火过程中，总费用由损失费与救援费构成，设 在时刻 时，森林被毁面积为 则被毁总面积为,考虑 单位时间被毁面积，它表示的是火势,的蔓延程度，注意到, 时，火势越来越大， 时，火势逐渐减少，且,由此即得关系,假设,单位面积损失费为 ；,当 时， 与时间成正比，即,称为蔓延速度；,派出 名消防队员进行灭火

14、，每名队员的灭火速度为 ；则当 时，有,每名消防队员单位时间的灭火费用为 ，于是在灭,火过程中，每名队员的费用为 ；,每名队员的一次性开支为,注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀 速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间 成正 比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积 与 成正 比，从而 与 成正比.,火过程中，每名队员的费用为 ；,每名队员的一次性开支为,注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀 速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间 成正 比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积 与 成正 比，从而 与 成正比。,火过程中，每名队员的费用为 ；,每名队员的一次性开支为,注 模型假设的意义：火势以起火点为中心，以均匀 速度向四周呈圆形蔓延，蔓延的半径 与时间 成正 比。又被毁面积与 成正比，故被毁面积 与 成正 比，从而 与 成正比。,又，每名消防队员的灭火速度 为常量，它将火势的 蔓延速度压低为负值，因此,由于 此说明要把火扑灭，应满足 名,消防队员。,记 因 即有,即,由此得,由定积分的几何意义，得,建模,设派出 名消防队员，则