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1、牡一中2017级高二学年下学期期中考试数学试题一、选择题（每小题5分共60分）1、若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 62、用数学归纳法证明（）的过程中，从到时，左边需增加的代数式是 ( )A.3k1 B. 9k C. 3k1 D.8k3、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设都是偶数 B假设都不是偶数C假设至多有一个偶数 D假设至多有两个偶数4、已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A 0.8 B 0.2 C 0.1 D 0.3 5、 一张储蓄卡的密码是6位数字，每位
2、数字都可从0-9中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字，如果他记得最后一位是偶数，则他不超过两次就按对的概率为（ ） A. B. C. D. 6、从5名同学中选出正、副组长各1名，有（ ）种不同的选法A.10种B. 20种C. 25种 D. 30种7、过点作曲线的切线，则切线方程为（ ）A 或 B 或 C 或 D 8、 从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于( ) A2个球不都是红球的概率 B2个球都是红球的概率C至少有1个红球的概率 D2个球中恰好有1个红球的概率9、将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的
3、两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种 A7 B10 C14 D2010、已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）A B C D 11、 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（ ）. A34种 B48种 C96种 D144种12、已知函数（aR），若函数恰有5个不同的零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分共20分）13、的展开式中的系数为 （用数字填写答案）14、设随机变量的分布列为，0，1，2，且，则 _15、空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个点共面,这1
4、2个点可确定 个不同的平面16、对任意，都存在，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是 三、解答题17、（本小题满分10分）某超强台风登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计捐款超过500元30捐款低于500元6合计台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表2.
5、0722.7063.8415.02466357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001参考公式： ， .18、（本小题满分12分）在直角坐标系中，以为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与圆交于两点，是圆上不同于的任意一点(1)求圆心的极坐标； (2)求面积的最大值19、（本小题满分12分）已知函数，若恒成立，求实数的最大值。20、（本小题满分12分）已知函数，其中.（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.（）讨论函数的单调性.21、（本小题满分12分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客
6、进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值为元和元的两种球组成，或标有面值元和元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡.请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 22、（本小题满分12分）已知函数，（1） 求函数的极小值（2） 求证：当时，数学答案DDBDC BACBA CA40 8 211 17解：（1
7、）表略.所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.18解:(1)圆心极坐标为.(2)最大面积Smax.19解（）（）当时，,函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数；当时，函数在区间上增函数； 当时，函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数.当时，函数在区间及上为减函数，在区间上为增函数.当时，为增函数，为减函数20、的最大值为221、解：（1） 设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为.，. 2分得的分布列如下：所以顾客所获的奖励额的期望 4分(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元.所以，先寻找期望为60元的可能方案：当球的面值为元和元时
8、，若选择方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；若选择方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是.因此可能的方案是，记为方案.当球的面值为元和元时，同理可排除、的方案，所以可能的方案是，记为方案. 6分以下是对两个方案的分析：对于方案，即方案，设顾客所获的奖励额为，的可能取值为.的期望为的方差为 8分对于方案，即方案，设顾客所获得奖励额为，的可能取值为.的期望为的方差为 10分由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差要比方案的小，所以应该选择方案.即标有面值元和面值元的球各两个. 12分22、解：（1）当时，即时，函数在上单调递增，无极小值；当时，即时，函数在上单调递减；，函数在上单调递增；，综上所述，当时，无极小值；当时，（2）令当时，要证：，即证,即证，要证，即证.当时，令，所以在单调递增，故，即.，令，当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号又，由、可知所以当时，当时，即证.令，在上单调递减，在上单调递增，故当时，当时，由知，而，故；当时，由知，故；所以，当时，.综上可知，当时，.- 8 -
