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1、,单元2 材料力学基础,学习目标： 1、了解拉（压）、剪切、扭转、弯曲的变形特点； 2、掌握轴力、剪力、扭矩和弯矩的概念及其内力的计算方法，并能熟练的画出内力图； 3、掌握剪力图、弯矩图的画法，能解决工程实际中一般的拉（压）、剪切、扭转和弯曲的强度计算； 4、了解扭转刚度的计算方法。,单元2 材料力学基础,课题2.1 构件的变形 课题2.2 构件的内力 课题2.3 应力与强度计算,课题2.1 构件的变形,在机器或工程结构中，构件的形式很多，但是常见的形式是杆件，即纵向尺寸（长度）远大于横向尺寸的构件。如果杆的轴线为直线，且各横截面都相等，则为等截面直杆。 杆件在各种不同的外力作用下，将产生不同
2、形式的变形。,在研究构件的强度、刚度等问题时，物体的变形不可忽略，此时构成构件的材料视为可变形固体。为了方便研究构件材料的力学性质，对可变形固体作了两个基本假设： （1）均匀连续性假设，即认为构件在整个体积内毫无空隙地充满着物质，而且物体内任何部分的性质都完全一样。 （2）各向同性假设，即认为材料在各个不同方向的力学性质均相同。,一、轴向拉伸和压缩变形 在工程中，轴向拉伸与压缩是最简单的一种变形。如图2-1(a)所示，悬臂吊车中的拉杆AB受轴向拉力的作用，产生拉伸变形；图2-1(b)中，建筑物的支柱受到轴向压力的作用，产生压缩变形。拉伸与压缩杆件的受力简图如图2-2所示。拉伸与压缩杆件的受力特
3、点是：作用在直杆上的两个力大小相等、方向相反，作用线与杆的轴线重合。杆件的变形特点是：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。,图2-1 拉伸与压缩实例,图2-2 拉伸与压缩的杆件,二、剪切变形 在工程实际中，常遇到剪切问题。例如在剪切机上剪断钢板（图2-3(a)）、用螺栓联接（图2-3(b)）等联接件都是发生剪切变形的构件，称为剪切构件。,(a) (b) 图2-3 剪切实例,剪切构件的受力特点是：作用在构件两侧面上的横向外力的合力大小相等、方向相反，作用线相距很近。其变形特点是：介于两作用力之间的横截面有沿着作用力方向发生相对错动的趋势，这种变形形式称为剪切。发生相对
4、错动的截面称为剪切面。,构件在受剪切时，在其接触面上还受到挤压作用。构件相互接触的表面上，因承受了较大的压力作用，使接触处的局部区域发生显著的塑性变形或被压碎，这种现象称为挤压。构件局部受压的接触面称为挤压面，挤压面上的压力称为挤压力（图2-4）。,图2-4 挤压实例,三、扭转变形 在机械中，有许多构件的变形形式是扭转。如图2-5所示搅拌器轴，上端受力偶矩M0 的外力偶作用，使轴沿逆时针方向旋转，联接在轴下端的叶片受到搅拌物的阻力亦必构成一力偶，两个力偶的大小相等，转向相反，轴在这一对力偶作用下将产生扭转变形。 扭转构件的受力特点是：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶大小相等
5、，转向相反（图2-6）。其变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动，这种变形称为扭转。杆件任意两截面间的相对角位移称为扭转角。,图2-6 圆轴扭转,图2-5 扭转实例,四、弯曲变形 弯曲变形是工程中最常见的一种基本形式。例如房屋的楼面梁（图2-7a）,简化为图2-7b的形式，在楼面载荷作用下，楼面梁变形后其轴线将移至虚线所示位置。 图2-8所示车轴，也可以简化为一直杆。钢轨对车轮的约束可简化为固定铰链支座和活动铰链支座，外力垂直于轮轴的轴线，在外力作用下，车轴将弯曲成一条上凸的曲线。,图2-7 楼面梁,图2-8 车轴,涂2-9a所示的镗杆，装有镗刀的一端为自由端，另一端装于主轴上可视为固定端，切
6、削工件时，镗刀受到反作用力作用，轴线将变弯曲（图2-9b）。,图2-9 镗杆,为了便于研究梁的弯曲问题，一般将实际构件简化成三种基本形式：简支梁（图2-7b）、外伸梁（图2-8b）和悬臂梁（图2-9b）,这些弯曲构件的共同特点是：构件都可以简化为一根直杆，外力垂直于杆的轴线，在外力作用下杆的轴线发生弯曲，这种变形称为弯曲变形。这种以弯曲为主要变形的构件通常称为梁。工程中，大多数梁的横截面都有一个对称轴（图2-10），当外力作用在此纵向对称平面内时，梁的轴线在该平面内弯成一平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。,图2-10 对称轴,课题2.2 构件的内力,构件在外力作用下发生变形时，其内部产生的相互作
7、用力称为内力。内力随外力的增大而增大，但内力的增大是有一定限度的，当外力增大到一定程度时，构件就会发生破坏。因此，内力与构件的强度、刚度均有密切关系。,内力的大小和方向，通常使用截面法来确定。设有一根拉杆（图2-11a），求一横截面m-m处的内力时，可以用一假想横截面在m-m处把拉杆截开为左右两段，任取其中一段为研究对象。,如取左段，将右段对左段的作用力以内力N代替，如图2-11b所示，此时左段仍保持平衡状态。截面上内力的大小和方向，可利用平衡条件确定。根据二力平衡条件，内力N必然与杆轴线重合，其方向与外力F相反，由平衡方程得：图2-11 拉杆内力分析 Fx = 0， N -F = 0 N =
8、 F 若取右端为研究对象（图2-11c），也可得 N= F， 则N 与N是左、右两部分在横截面上的作用力与反作用力。 这种假想地用一个截面将构件截开，从而揭示内力并确 定内力的方法，称为截面法。,一、轴向拉伸与压缩时的内力轴力 对于受轴向拉伸与压缩的杆件，由于外力的作用线与杆件的轴线重合，所以内力合力的作用线也必然与杆的轴线重合，这样的内力称为轴力。其符号规定为：当杆件受拉伸时，轴力指向离开横截面，取正号；杆件受压缩时，轴力指向向着横截面，取负号,图2-12 求杆的轴力,例2-1 设一杆件沿轴线同时受力P1 =2kN、P2 =3kN、P3 =1kN的作用，其作用点分别为A、B、C，如图2-12
9、a所示。求杆的轴力。,解：由于杆上有三个外力，因此在AC和CB段的横截面上将有不同的轴力， （1）在AC段内的任意处以横截面1-1将杆截为两 段，取右段为研究对象(图2-12b)，将左段对右段的作用以N1代替。由平衡条件可知：N1必与杆的轴线重合，方向先设为拉力，由平衡方程 Fx = 0， P2 - P3 - N1= 0 得 N1 = P2 P3 = 2kN 此为AC段内任一横截面上的内力。,（2）再在CB段内的任意处以横截面2-2将杆截开，取左段为研究对象，此时截面2-2上内力N2的方向也先设为拉力（图2-12c）。由平衡方程 Fx = 0， N2-P1+P2 = 0 N2 = P1-P2
10、= 2-3 = -1kN 结果中的负号说明截面上内力的方向与原设方向相反，即N2为压力，其值1kN。此为CB段内任一横截面上的内力。 为表明各截面上的轴力沿轴线的变化情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，再取垂直的坐标表示横截面上的轴力，按选定比例尺寸和轴力的正负把轴力分别画在轴的上下或左右两侧，这样绘出的图形称为轴力图。上题中杆件的轴力图如图2-12d。,二、圆轴扭转时的内力扭矩 1 外力偶矩计算 扭转时，作用在轴上的是一对大小相等，转向相反的外力偶矩，但外力偶矩常常不直接给出，而是根据给定的所传递的功率和轴的转速计算出来。功率、转速和力偶矩之间有一定关系，利用它们之间的关系，可以求出
11、作用在轴上的外力偶矩。它们的关系是 Nm （2-1） 式中：P轴传递的功率，单位为千瓦（kW）； n轴的转速，单位为转/分（r/min）； M作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿米（Nm）。 如果功率单位是马力，则 Nm （2-2）,图2-13 传动轴,圆轴在外力偶矩作用下，横截面上将产生内力。求内力的方法仍用截面法。如图2-13a的转动轴，装有四个皮带轮，四个皮带轮上分别作用有主动力偶矩M1和从动力偶矩M2、M3、M4，外力偶矩分别为M1=110Nm，M2=60Nm，M3=20Nm，M4=30Nm。,若求AB段内任一横截面上的内力，可沿AB段内的一假想截面1-1将轴截开，取左边部分为研究对象（图
12、2-13b），为保持该段轴的平衡，必然存在一个内力偶与它平衡。由平衡方程得,m = 0， M1+T1 = 0 得 T1 = -M1 = -110Nm 同理可求得BC段内力（图2-13c）： m = 0， M1-M2+T2 = 0 T2 = M2-M1 = 60-110 = -50Nm CD段内力（以左侧为研究对象）： m = 0， M1 -M2-M3+T3 = 0 T3 = M2+M3-M1 = 60+20 110 = -30Nm,图2-14 确定扭矩的正负,由此可见，杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。扭矩的符号规定如下：采用右手螺旋法则，如果以右手四指表
13、示扭矩的转向，则姆指的指向离开截面时扭矩为正；反之，姆指指向截面时扭矩为负，如图2-14所示。,为了显示轴上各截面扭矩的变化规律，确定最大扭矩所在位置，以便找出危险截面，工程上常把扭矩随横截面位置的变化规律绘成图形，称为扭矩图，如图2-13d所示。常用横坐标表示轴各截面位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩，上面的计算结果按适当比例及其正负，分别画在横坐标的两侧。从扭矩图上可明显看出，AB段扭矩最大，|Mmax|=110Nm。,例2-2 如图2-15a所示传动轴。 已知轴的转速n = 200r/min，主动轮1输入功率P1 = 20kW，从动轮2、3、4输出功率分别为P2 = 5kW，P3 = 5
14、kW，P4 = 5kW。试画出传动轴的扭矩图。,图2-15 求传动轴的扭矩,解：（1）计算作用在轮1、2、3、4上的外力偶矩M1、M2、M3和M4 。由式（2-1）得：,Nm,Nm,Nm,Nm,（2）求各段截面上的扭矩。沿截面I-I截开，以T1表示截面上的扭矩，设其转向为正。取左段为研究对象（图2-15b）。由平衡方程 m = 0， M2 +T1 = 0 得 T1 = -M2 = -239 Nm 同理，沿截面-截开，以T2表示截面上的扭矩，设其转向为正。取左段为研究对象（图2-15c），由平衡方程 m = 0， M2+M3+T2 = 0 得 T2 = -M2-M3 = -239-239 = -
15、478 Nm 再沿截面-截开，以T3表示截面上的扭矩，设方向为正。取右段为研究对象（图2-15d），由平衡方程 m = 0， T3-M4 = 0 得 T3 = M4 = 478 Nm （3）画出扭矩图如图2-15e。,三、梁弯曲时的内力剪力和弯矩,图2-16 截面上的剪力和弯矩,在外力作用下梁横截面上的内力仍用截面法求出。设有一简支梁AB，受集中载荷P1、P2、P3的作用（图2-16a），求距A端x处横截面m-m上的内力。首先求出梁的支座反力RA、RB；然后用一假想截面m-m将梁截为两部分，取左段为研究对象（图2-16b）。左段梁上的外力RA与P1在垂直方向一般不自相平衡，为保持左段梁在垂直方
16、向不发生移动，在横截面上必然有一个平行于横截面的内力Q，称为剪力。由于RA与P1对截面形心O之矩并不相互抵消，为保持该段梁不发生转动，在截面上必然有一个位于截荷平面内的内力偶，其力偶矩用M表示，称为弯矩。,因此，梁弯曲时横截面上存在两个内力分量，剪力Q和弯矩M，它们的大小、方向或转向可以根据左段梁的平衡关系确定。由 Fy = 0， RA-P1-Q = 0 得 Q = RA-P1 由 m0（F）= 0， -RA x +P1（x - a）+M = 0 得 M = RA x -P1（x - a） 在力矩式m0（F）= 0时，力矩中心为横截面的形心O。 如果取梁的右段为研究对象，同样可得到截面m-m上的剪力Q和弯矩M（图2-16c）。但是以左段或右段梁为研究对象求出的Q
