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1、2.5平面向量应用举例,1. 向量在几何中的应用,2. 向量在物理中的应用,解决的问题： 比如：距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题,解决的问题： 比如：力、速度等物理问题,2.5.1平面几何的向量方法,例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？,特殊化,一般化,例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和,已知：平行四边形ABCD。 求证：,解：设 ，则,分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。,例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF
2、分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？,猜想： AR=RT=TC,解：设 则,由于 与 共线，故设,又因为 共线， 所以设,因为 所以,线，,故AT=RT=TC,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形,练习1、证明直径所对的圆周角是直角,分析：要证ACB=90，只须证向 量 ，即 。,解：设
3、 则 ， 由此可得：,即 ，得 ACB=90,思考：能否用向量 坐标形式证明？,2.5.2向量在物理中的应用,例1：同一平面内，互成120 的三个大小相等的共点力的合力为零。,证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120，模相等，按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD 又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故 a与OD共线且模相等 所以：OD = -a ，即有： a+ b+ c =0,例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现
4、象吗？,分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：,用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示， F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！,F2,小结： （1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！,（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！,（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。,10N,(2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P处，从这里起，在下游 =80m处河
5、流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？,(2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？,(2)如图，今有一艘小船位于d = 60m宽的河边P处，从这里起，在下游 =80m处河流有一处瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为5m/s为了使小船能安全过河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？,从图上看，哪个速度（向量的模）最小？,提问:表示划船速度的向量怎样画?,Q,
