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1、第十讲 定类或定序因变量回归分析,当因变量是一个定类变量而不是定距变量时，线性回归模型受到挑战。 如政治学中研究是否选举某候选人，经济学研究中涉及的是否销售或购买某种商品，社会学和人口学研究中所涉及的如犯罪、迁移、婚姻、生育、患病等等都可以按照二分类变量或多分类来测量。,一、问题的提出,在研究态度与偏好等心理现象时也经常按类型进行测量的，如“强烈反对”、“反对”、“中立”、“支持”、和“强烈支持”。 连续变量转换成类型变量的情形，如在分析升学考试的影响因素时，将考生分为录取线以上和录取线以下。,从统计理论上看，最小二乘法关注正态分布，然而社会经济现象往往有不同于正态分布的其他分布，例如： （1
2、）二项分布（binomial distribution） （2）泊松分布（Poisson）,二、线性概率模型,1、模型建立 以最小二乘法为基础的线性回归方程是估测因变量的平均值，而二分变量的均值有一个特定的意义，即概率。用普通线性回归方程估测概率，就是所谓的线性概率回归。用公式表示为： P = a + iXi + 对二项分布线性概率模型的结果解释： 在其他变量不变的情形下，x每增加一个单位，事件发生概率的期望将变动个单位。,例如，林楠和谢文（1988）曾用线性概率模型估测入党（政治资本）的概率，模型为： P = -0.39 +0.01A +0.04E +0.03U 其中：P党员概率， A年龄，
3、 E受教育年限， U单位身份,1）无意义的解释 从解释力上看，由于概率的值是有边界的，在0与1之间。但林楠方程很有可能要超过该限制，因变量的估计值可能是负数，也可能大于1，因此模型的结果是无意义的。例如，运用林楠方程，我们发现如果年龄为100岁，受教育程度超过10年，则入党的概率约等于1。 2）非线性关系,2、线性概率模型存在的问题,三、简单对数比率回归,1、模型建立 既然用线性概率回归存在局限性，能否用比率做因变量呢？比如用男女比率作因变量，用成功与不成功之比做因变量。用比率做因变量存在的问题是，比率是非对称的.,表1 概率、比率和对数比率,一个简单的解决办法就是取对数，结果就是所谓对数比率
4、（logit)。若用P代表某事件的概率，则对数比率函数的定义为 g（P）= log （P/1-P） 以对数比率为因变量对自变量X1，X2，X3做回归称为对数比率回归（logistic regression），其方程式为：,该模型即为logit回归模型。logit回归模型是普通多元线性回归模型的推广，但它的误差项服从二项分布，因此需要采用极大似然估计方法进行参数估计，参数称为logit回归系数，表示当其他自变量取值保持不变时，该自变量取值增加一个单位引起的发生比自然对数值的变化量。,2、发生比,发生比是事件的发生频数与不发生频数之间的比，即： Odds=(事件发生频数)/（事件不发生频数） 当比
5、值大于1时，表明事件更有可能发生。比如一个事件发生的概率为0.6，事件不发生的概率为0.4，发生比等于0.6/0.4=1.5。事件发生的可能性是不发生的1.5倍。,四、logistic回归模型的检验与评价,1、Logistic回归模型估计的假设前提 第一、数据来自于随机样本。 第二、因变量Yi被假设为K个自变量Xk（k=1，2，K）的函数。 第三、正如OLS回归，logistic回归也对多重共线性有所限制，自变量之间存在多重共线性会导致标准误的膨胀。 Logistic回归模型还有一些与OLS回归不同的假设前提：第一，因变量是二分变量；第二，因变量和各自变量之间的关系是非线性的。,2、拟合优度检
6、验,如果模型的预测值能够与对应的观测值有较高的一致性，就认为这一模型能够拟合数据。否则需要对模型重新设置。 因此，模型的拟合优度是指预测值与观测值的匹配程度。检验拟合优度的指标有皮尔逊卡方检验、对数似然比卡方检验等。,1）皮尔逊卡方检验 皮尔逊卡方检验主要用于检验残差项的大小。计算公式： 其中yi是观察值（0或1），pi是估算值的概率， i=1，2n，分母是估算值的标准差，自由度为n-J-1，其中J为自变量数目。,2）Hosmer-Lemeshow 拟合优度检验 该方法通常适用于自变量很多，或自变量为连续变量的情形。HL方法根据预测概率的大小将所有观察单位十等分，然后根据每一组中因变量的实际值
7、与理论值计算Peason卡方，其统计量为： 其中G 代表分组数，且G10；ng为第g组中的观测值数；yg第g组事件的观测数量；pg为第g组的预测事件概率；ngpg为事件的预测值，实际上它等于第g组的观测概率和。,3）对数似然比卡方检验 对数似然比是用较复杂模型与基本模型进行比较。通常将似然取对数并乘以-2，即-2logL，简称对数似然。 基本模型以独立模型表示： 用L0表示独立模型的似然，L1表示非独立模型的似然，那么对数似然比定义为： 遵循卡方分布，其自由度为非独立模型的自变量数目，可用于检验复杂模型中自变量对似然率的增加是否显著，越大越好。,3、logit模型回归系数的假设检验,设原假设H
8、0为：k=0，表示自变量对事件发生的可能性无影响；如果原假设被拒绝，说明自变量对事件发生的可能性有影响。 Wald检验 在logit模型中，对回归系数进行显著性检验，通常使用Wald检验，其计算公式为： Wald 统计量实际上就是正态分布Z 统计量的平方。在零假设条件下，每一个回归系数都等于0。Wald统计量服从卡方分布，其自由度为n-k-1。,五、模型解释,由于logit模型是非线性的，因此不能以传统回归模型中自变量与因变量之间的关系解释之。通常以发生比率来解释logit回归系数。,六、多项对数比率回归,我们研究的现象常是多分类的，如职业的选择等，这时需要用多项对数比率回归处理。 多项对数比
9、率回归是简单对数比率回归的扩展，由一组对数比率方程组成。 常用的做法是基准类比法，即先选出基准类，然后将它的概率与其它各类的概率进行对比。 假如要研究一个或一组自变量X如何影响人们对J类职业选择，用P1，P2Pj表示各类职业的概率，那么多项对数比率回归就可表示为:,需要注意的是：1)就系数解释和检验而言，多项对数比率回归和简单对数比率回归相同。2)方程组在统计上不独立，必须同时估算，不可一一求解。,SPSS上的应用： 1）AnalyzeRegressionMultinomial Logistic 2）Dependent用于选入无序多分类的因变量 3）Factor 用于选入分类自变量，可以是有序
10、或无序多分类，系统会自动生成虚拟变量。 4）Covariates用于选入连续型的自变量。 选择系统默认值，点击OK钮，运行所选命令 5）结果解释 数据汇总与模型的似然比检验。 拟合优度检验（Pearson，Deviance检验）。 参数估计结果。,七、定序变量对数比率,当因变量是定序变量，变量值之间具有高低之分时，在设计logit模型时，就应考虑到其中所包含的信息。 通常有三种处理方法：邻类比、升级比和累进比。 1、邻类比 邻类比是将所有相邻两类的概率两两相比，如果变量含有J个有序类别，就可得到J-1个不重复对数比率方程。假如用P1，P2Pj表示一个定序变量由低到高各级类别的概率，设X是一个或
11、一组自变量，那么对数邻类比回归就是：,对于定序变量，常常假设升级的作用是一样的，即在方程组中，各个方程的斜率项是相同的，1=2=j-1 ,上式可表示为：,2、升级比,用P1，P2，Pj表示一定序变量由低到高各级类别的概率，那么对数升级比回归就是：,例如升学率的研究。将学校依等级高低分为小学、初中、高中和大学四类。初中升高中的比率不仅是初中毕业生和高中毕业生的比率，还应包括大学毕业生，因为他们也完成了初中到高中的升级过程。 升级比在统计上是各自独立的，因而可以对照简单对数比率回归一一估算。加总各独立升级比率回归的对数似然比和自由度，即总模型的对数似然比和自由度。,对数升级比回归的编码示例,3、累
12、进比,对数累进比率回归示例收入等级分析（Nee 1991）,若假设1=2=j-1, 则对数升级方程组可简化方程如下： SPSS中的（ordinal logistic regression)就是截矩项都相等的累进比对数回归模型。,SPSS操作程序 1、选择logistic回归程序： 点击主菜单中的Analyze 然后点击Regression 再点击Ordinal，屏幕上出现对话窗口 2、选定模型 Dependent选择一个有序分类因变量。 Factor选择若干分类自变量。 Covariates用于选入连续型的自变量。 择系统默认值，点击OK钮，运行所选命令 结果解释 数据汇总与模型的似然比检验。 拟合优度检验（Pearson，Deviance检验）。 参数估计结果。,
