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1、第3章 离散时间系统的时域分析,3.1 离散时间系统的时域数学模型差分方程 3.2 离散时间系统的时域分析差分方程的求解 3.3 卷 积 和 3.4 用MATLAB进行离散时间系统的时域分析,与连续时间系统相对应，离散时间系统同样也有几种分析方法，即差分方程分析法、卷积和分析法和MATLAB分析法等。离散时间系统的分析是重要的研究领域，特别是在计算机技术和数字信号处理技术迅猛发展的今天更是如此。 与连续时间系统相比，离散系统的主要优点如下。,1. 精度高 离散系统的精度高，更确切地说是精度可控制。因为精度取决于系统的字长（位数）。字长越长，精度越高。根据实际情况适当改变字长，可以获得所要求的精
2、度。 2. 灵活 数字处理系统的性能主要由乘法器的各系数决定。只要改变乘法器的系数，系统的性能就改变了，方便设计。,3. 稳定性及可靠性好 离散系统的基本运算是加法、乘法，采用的是二进制，所以工作稳定，受环境影响小，抗干扰能力强，且数据可以存储。 4. 数字系统的集成化程度高，体积小，功耗低，功能强，价格越来越便宜 由于以上优点，离散系统得以广泛应用。,3.1 离散时间系统的时域数学模型 差分方程,3.1.1 线性时不变离散时间系统 和连续时间系统相比，离散时间系统的作用是将输入序列转变为输出序列，它们都是在时间域这个范围进行分析的系统，系统的功能是完成xn转变为yn的运算，记为 yn=Txn
3、,离散时间系统的原理框图如图3.1所示。 与连续LTI系统类似，离散LTI系统满足叠加、比例以及时不变特性。,图3.1 离散时间系统的框图,3.1.2 LTI离散时间系统的数学模型 差分方程的建立 1. LTI离散系统基本运算单元的框图表示 构成LTI离散系统的基本运算单元是延时器、乘法器和加法器。延时器的框图及流图如图3.2所示。其中D是单位延时器，有时亦用T表示。离散系统延时器的作用与连续系统中的积分器相当。利用离散系统的基本运算单元，可以构成任意LTI离散系统。,图3.2 延时框图及流图,2. LTI离散系统的差分方程 在差分方程中构成方程的各项包含有未知离散变量的yn，以及yn-1，y
4、n-2，同样，不管是离散系统还是连续系统，列出方程是解决问题的第一步。,（1）建立的数学模型（即差分方程）的阶数与未知序列变量序号的最高值与最低值之差是一致的。 （2）对单输入、单输出的线性时不变离散系统的求解已经转换为差分方程的求解。,3.2 离散时间系统的时域分析 差分方程的求解,3.2.1 差分方程求解的常用方法 建立了系统的差分方程后，下面的任务就是求解这个差分方程，求解常系数线性差分方程的常用方法有以下几种。,1.递推法 递推法是代入初始值逐次求解的方法。这种方法概念清楚，也比较简单，适合计算机求解，但不能直接给出一个完整的解析式作为解答。当系统的阶数较高，并且激励复杂时，这种方法就
5、不太适用了，而时域经典法可以较好地解决这个问题。,2.时域经典法 差分方程的时域经典法与微分方程的时域经典解法类似，先分别求齐次解与特解，然后代入边界条件求待定系数。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的相互关系，但求解比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用。,3.全响应法 （分别求零输入响应与零状态响应） 与连续时间系统的情况相类似，可以先利用求齐次解的方法得到零输入响应，再利用卷积和(简称卷积)的方法求零状态响应。这种方法在离散系统时域分析中占十分重要的地位。,4.变换域方法 利用z变换求解差分方程有许多优点，它是在实际应用中最简便而有效的方法。我们在第6章将详细讨论它。 5. 转移算子法
6、 转移算子法可以完整地描述离散系统的输入输出关系， 或者说集中反映了系统对输入序列的传输特性。,3.2.2 常系数差分方程时域经典求解法（时域解析法） 如果单输入、单输出的离散线性时不变系统的激励为xn，响应为yn，则描述激励xn与响应yn之间关系的是N阶常系数差分方程。 差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。,1.齐次解 （1）特征根均为单根 （2）特征根为重根 （3）如果1是特征方程的r重根 （4）特征方程有复根,2.特解 与常系数微分方程特解的求法相类似，差分方程特解的形式也与激励函数的形式有关。选定特解后，把它代入到原差分方程，求出其待定系数，就得出方程的特解。,3.完全解 求线性差分
7、方程的完全解，一般步骤如下。 (1)写出与该方程相对应的特征方程，求出特征根，并写出其齐次解通式。 (2) 根据原方程的激励函数的形式，写出其特解的通式。,(3) 将特解通式代入原方程求出待定系数，确定特解形式。 (4) 写出原方程的通解的一般形式(即齐次解+特解)。 (5) 把初始条件代入，求出齐次解的待定系数值。,3.2.3零输入响应和零状态响应（全响应法） 1.分解方法 与连续信号的时域分析相类似，线性时不变离散系统的完全响应除了可以分为自由响应和强迫响应外，还可以分为零输入响应和零状态响应。,（1）零输入响应 所谓零输入响应是指激励为零时仅由初始状态所引起的响应，用yzin表示。 （2
8、）零状态响应 零状态响应是指初始状态为零时仅由输入信号所引起的响应，用yzsn表示。,（3）完全响应 线性时不变系统的完全响应是零输入响应与零状态响应之和，即 Yn=yzin+yzsn 完全响应也可分解为自由响应和强迫响应。,虽然自由响应与零输入响应都是齐次解的形式，但它们的系数并不相同，czi仅由系统初始状态决定，而ci是由初始状态和激励共同决定的。两种分解方式有明显区别。,3.2.4 单位样值响应 如果系统的输入为单位样值信号n，初始状态y-1，y-2，y-N均为零，由n产生的系统零状态响应定义为单位样值响应，记为hn。研究单位样值响应的意义在于单位样值信号是一种基本信号，系统在任一信号激
9、励下的零状态响应能够用单位样值响应求解。此外，单位样值响应还可用于研究系统的性质，它表征了系统本身的传递特性。,与连续时间系统相似，欲用时域法求离散系统的零状态响应yzsn，需要先求离散系统的单位样值响应hn。通常可用递推法求单位样值响应。,当描述系统的差分方程右端只有n项时，由于n在n=0处值为1，在n1处值均为零，可采用递推方法求出hn。当n1时，差分方程右端变为零，则可按求解零输入响应的方法求出hn，当差分方程右端还有移位的信号时，可进行多步递推，直至方程右端为零 。,3.3 卷 积 和,3.3.1离散时间信号分解与卷积和定义 在离散时间系统中：激励信号本身就是一个离散序列。所以，第一步
10、分解工作很容易进行，离散的激励信号序列中的每一个离散量施加于系统，,离散系统输出一个与之相应的响应序列，每一个响应序列也均是一个离散序列，最后把这些响应叠加起来，便得到系统对任意激励信号的零状态响应。这种叠加是离散叠加，即为求和运算，而不是积分运算，叠加的过程表现为求卷积和。,在连续时间系统中，使用卷积分析法求解零状态响应时，单位冲激函数t和单位冲激响应ht起着非常关键的作用。在离散时间系统中，单位样值序列（简称单位样值）n和单位样值响应序列hn也同样起着十分重要的作用。,3.3.2 卷积和的性质 1.满足交换律、分配律和结合律 与连续时间系统卷积积分一样，卷积和也满足交换律、分配律、结合律等
11、代数运算规律。,2.序列与单位样值n的卷积和 Xn*n=xn 即任意序列与n的卷积和结果仍是该序列本身。,3.时不变性 4.序列与单位阶跃序列un的卷积和,3.3.3 卷积和的运算 卷积和的运算方法有很多，基本上可分为解析法、列表法、图解法、竖式法和变换域法等。本节将举例对卷积和的运算进行说明，重点介绍解析法、图解法和竖式法。,1. 解析法 如果给定激励信号xn和单位样值响应hn，根据式（3-19）、式（3-21）的卷积定义，利用离散序列的卷积性质，通过级数求和公式，可以方便地求出结果。,2.图解法 与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的反转、移位、相乘、求和等四个基本步骤。
12、,3.竖式法 对于两个有限长序列的卷积和计算，可以采用下面介绍的更为简便实用的竖式法（对位相乘求和）计算。 这种方法不需要画出序列图形， 只要把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘，但中间结果不进位，最后将位于同一列的中间结果相加就可以得到卷积和序列。,解析法通过数学运算能得到闭式解；图解法比较麻烦但非常直观；竖式法按序从左到右逐项将竖式相乘的积对应相加，这种方法对有限长序列计算较为方便。,3.4 用MATLAB进行离散时间系统的时域分析,3.4.1 用MATLAB求解差分方程 1.用MATLAB计算离散系统差分方程的零状态响应 求系统的零状态响应可直接使用MATLAB提供的指令filte
13、r，其格式为 y = filter(b，a，x),2.用MATLAB计算离散系统差分方程的零输入响应和全响应 求系统的零输入响应还是使用MATLAB提供的指令filter，其格式为 y = filter(b，a，x，xic),3.4.2 用MATLAB计算离散时间系统差分方程的单位样值响应 MATLAB提供了求解单位样值响应的指令，它将绘出由b，a描述的差分方程的系统的单位样值响应的时域离散图形和序列值。调用格式：,h=impz(b，a)%计算离散系统的单位样值响应的序列值，取样点个数由MATLAB自动选取 h=impz(b，a，n) %计算指定范围内（0:n-1）的离散系统的单位样值响应的序列值 impz(b，a) %绘出由b，a描述的差分方程的系统的单位样值响应的时域离散图形,3.4.3 用MATLAB的卷积计算零状态响应,
