《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第十二章 12-7》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第十二章 12-7（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二章 概率,第七节 连续型随机变量及其分布,一.连续型随机变量的概念与性质,定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有,则称X为连续型随机变量，其中函数f (x)称 为X 的概率密度函数,简称概率密度.,连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定,由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：,40 若 在点 处连续, 则有,注意,连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,连续型随机变量的一个重要特点,不能认为,设X是连续型随机变量,则对任意的实数,有,证明：,所以有,说明,由上述性质
2、可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,若已知连续型随机变量X的密度函数为,则X在任意区间G(G可以是开区间,也可以是闭区间, 或半开半闭区间;可以是有限区间,也可以是无限区间) 上取值的概率为.,例 1,设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解： 由密度函数的性质,求(1) 常数c;,例 2,某电子元件的寿命（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有 2 个需要更换的概率. 解： 设：A= 某元件在使用的前 150 小时内需要更换,检验 5 个元件的使用寿命可以
3、看作是在做一个5 重贝努利试验 B= 5 个元件中恰有 2 个的使用寿命不超过150小时 ,则,例3,设连续型随机变量X的分布函数为,试求X的密度函数.,设X的密度函数为 则,例 4,设随机变量X的密度函数为,试求X的分布函数.,解,当 时,当 时,当 时,当 时,综上所述,可得随机变量X的分布函数,二.常用连续型随机变量的分布,1均匀分布,若随机变量 X 的密度函数为,记作 X U a , b,则称随机变量X服从区间 上的均匀分布.,密度函数的验证,设X服从区间 上的均匀分布, 是其密度函数,则有,(1)对任意的 ,有,由此可知, 确是密度函数.,说明,类似地，我们可以定义,区间 上的均匀分
4、布;,区间 上的均匀分布;,区间 上的均匀分布;,均匀分布的概率背景,x,如果随机变量X服从区间 上的均匀分布,则随 机变量X在区间 上的任意一个子区间上取值 的概率与该子区间的长度成正比,而与该子区间的位 置无关.,这时,可以认为随机变量X在区间 上取值是等 可能的,均匀分布的分布函数,若随机变量X服从区间 上的均匀分布 则X的分布函数为,例 5,设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率 解： 设该乘客于7时X分到达此站,则X服从区间0,30上的均匀分布,其密度函数为,令B= 候车时间
5、不超过5分钟 ,则,例6 设随机变量服从区间-3,6上的均匀分布,试求方程,有实根的概率.,解,随机变量的密度函数为,设 A=方程 有实根,则,2指数分布,如果随机变量 X 的密度函数为,其中 为常数,则称随机变量服从参数为的 指数分布.,密度函数的验证,设X服从参数为的指数分布, 是其密度函数, 则有,(1) 对任意的 ,有,由此可知,确是一密度函数.,指数分布的分布函数,若随机变量X服从参数的指数分布, 则X的分布函数为,例7,设打一次电话所用的时间X(单位:分钟)是以 为参数的指数分布,如果某人刚好在 你前面走进公用电话间,求你需等待10分钟 到20分钟之间的概率.,解,X的密度函数为,
6、令 B= 等待时间为1020分钟 ,则,3正态分布,如果连续型随机变量X的密度函数为,(其中 为参数),则称随机变量X服从参数为 的正态分布.记作,标准正态分布,若 ,我们称N(0,1)为标准正态分布.,标准正态分布的密度函数为,正态分布密度函数的图形性质,对于正态分布的密度函数,由高等数学知识,可知,(1)曲线关于直线 对称, 这表明,对于任意的h0，有,(2) 当 时, 取得最大值.,X离越远, 的值就越小,这表明对于同样长 度的区间,当区间离越远时,随机变量X落在该 区间中的概率就越小.,曲线 在 处有拐点,并以OX轴 为渐近线.,若固定,而改变的值,则 的图形沿X轴 平行移动,但不改变
7、其形状.因此, 图形的 位置完全由参数所确定.,(5) 若固定,而改变的值,由于 的最大值为,可知,当越小时, 的图形越陡峭,因而X落在 附近的概率越大;反之,当越大时, 的图形 越平坦,这说明X的取值越分散.,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的近似分布,标准
8、正态分布的计算,如果随机变量 则其密度函数为,其分布函数为,教科书附表中列出了标准正态分布表,对于X0,我们可直接查表求出,如果X0, 我们可由公式,作变换 得,一般正态分布的计算,设 则,作变换 则 代入上式,得,其中,(x)是标准正态分布的分布函数.,故对于任意的 有,例8 设随机变量 试求:,解,例9 设随机变量 试求:,解,例10 某地区的月降水量服从 (单位:cm) 的正态分布,求从某月起连续10个月的月降水量都不超过50cm的概率,解 设X为该地区的月降水量,则,再设A=月降水量不超过50cm,则,所以,P连续10个月降水量都不超过50cm,设 若 满足条件,则称点 为标准正态分布的上 分位点.,由查表可知,
