《MATLABSIMULINK实用教程 教学课件 ppt 张化光 刘鑫蕊 孙秋野 第4章MATLAB求解数学问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《MATLABSIMULINK实用教程 教学课件 ppt 张化光 刘鑫蕊 孙秋野 第4章MATLAB求解数学问题（122页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、MATLAB/SIMULINK实用教程,张化光 孙秋野 刘鑫蕊 编著,第4章MATLAB求解数学问题,第4章MATLAB求解数学问题,借助MATLAB语言的符号运算工具箱可以直接对常见的数学问题进行求解，本章依次介绍符号方程，极限，导数，积分，Taylor幂级数展开，微分方程等数学问题的MATLAB求解，然后介绍概率问题的MATLAB求解，最后介绍插值和曲线拟合问题。,4.1 符号表达式的生成,MATLAB的优点不仅在于其强大的数值运算功能，而且也在于其强大的符号运算功能。 MATLAB的符号运算是通过集成在MATLAB中的符号数学工具箱（Symbolic MathToolbox）来实现的。
2、符号表达式可以是符号函数或符号方程。其中，符号函数没有等号，而符号方程必须有等号。 MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，以便与数值表达式区别。,（1）符号运算与数值运算的区别。 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。,（2）符号表达式可以由以下方法生成。 使用单引号生成，符号表达式可以像字符串一样用单引号来直接设定。 用sym()函数生成符号表达式。 用命令syms生成符号表达式。,4.2 符号方程的求解,solve ()用来求解符号方程，调用格式：X=solve (方程1, .方程n, 变量1, . 变量m)。
3、linsolve ()用来求解线性方程组AX=B，返回特解X，调用格式：X=linsolve (A,B)。 【例4-2】 求解方程x2x6=0。,【例4-3】 求解方程组 。 【例4-4】 求解方程组 。,【例4-5】 求解方程组 ， x0=x(1),x(2)=0.1,0.1。 【例4-6】 求解方程 在2附近的解。,4.3.1 单变量函数的极限 4.3.2 多变量函数的极限,4.3 极 限,极限的求解包括单变量函数的极限和多变量函数的极限，下面分别进行介绍。,首先进行符号变量说明：syms x y a，然后定义函数fun，再使用下列命令格式求对应极限： limit (fun,x,a) %当时
4、，求函数fun的极限。 limit (fun,a) %默认变量x或唯一符号变量。 limit (fun) %默认变量x，且a=0。 limit (fun,x,a,right) %当时，求函数fun的右极限。 limit (fun,x,a,left) %当时，求函数fun的左极限。,4.3.1 单变量函数的极限,【例4-8】 试求解极限问题:,对二元函数求极限问题 ，可以嵌套使用limit()函数： limit (limit（fun,x,x0) ,y,y0) 或 limit (limit（fun, y,y0) , x,x0) 如果x0或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，则顺序不能交换。 注
5、意：此种用法只适用于极限存在的情况。,4.3.2 多变量函数的极限,【例4-9】 求二元函数 的极限值。 【例4-10】 求二元函数 的极限值。,4.4 导数和微分,函数的导数和微分问题包括导数和高阶导数，高阶混合偏导数，复合函数求导，隐函数求偏导和参数方程求导等。,diff()函数用来解给定函数的各阶导数，命令格式： diff (f) % f对默认变量x求一阶导数。 diff (f,v) % f 对变量v求一阶导数。 diff (f,n) % f对默认变量x求n阶导数。 diff (f,v,n) % f 对变量v求n阶导数。 【例4-11】 求函数 的导数。,4.4.1 导数和高阶导数,嵌套
6、使用diff()函数求解多元函数的偏导 问题 ，命令格式： diff(diff(f,x,m),y,n) 或 diff(diff(f,y,n),x,m),4.4.2 高阶混合偏导数,【例4-12】 ，求 。 【例4-13】 f(x,y)=(x22x)ex2y2xy=0， 求 。,【例4-14】已知 ，求 。,4.4.3 复合函数求导,4.4.4 隐函数求偏导,对于参数方程表达式y=f(t),x=g(t)，求 导数 ，可以使用diff()函数的递归调用， 命令格式：dk=diff (dk-1,t)/ diff (x,t)。其中，dk1表示k1阶导数。 【例4-16】 已知 ， 求 。,4.4.5
7、参数方程求导,【例4-17】 讨论函数 的极值、单调 性和其导数函数的关系。,4.4.6 导数的应用,图4-1 函数曲线图,jacobian(fun,v) %v是求导变量向量，表示fun对v求偏导矩阵即梯度。 gridient(F) %求F的数值梯度，一维时可用diff代替。 dot（jacobian(fun),v）= jacobian(fun)v %v是某方向的单位向量，数量积就是方向导数。 【例4-18】 梯度计算示例。,4.4.7 梯度计算和方向导数,4.5 积 分,4.5.1 不定积分 4.5.2 定积分与无穷积分 4.5.3 重积分 4.5.4 数值积分,求解不定积分问题可以使用in
8、t()函数，命令格式：F=int (fun,x) 或 F=int (fun) 。 当fun中只有一个自变量x时，x可省。 即funF(x) +C，C表示常数。,4.5.1 不定积分,【例4-19】 用diff()函数 求 的4阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 【例4-20】 证明下面等式成立： 【例4-21】 求不可积 。,定积分问题 可以使用int()函数求解，命令格式：int (fun,x,a,b)。 若为无穷积分问题，则只需将命令中a(或b)改为inf(或inf)即可。 如求 ，用int (fun,x,a,inf)。,4.5.2 定积分与无穷积分,【例4-22】 不可积问题
9、的定积 分可积 。 【例4-23】 求解变限积分 。,重积分问题可以先化为累次积分的方式再使用 int()函数的嵌套来解决。 【例4-24】 求二重积分 。,4.5.3 重积分,一元函数数值积分命令格式： q=quad(fun,a,b,tol) %采用辛普森计算积分。 q=quad8(fun,a,b,tol) %采用newton cotes方法计算积分。 q=quadl(fun,a,b,tol) %采用lobatto方法计算。 其中，tol表示绝对误差限，默认为10-6，a,b是确定值;fun可以是字符串、内联函数或M函数名。,4.5.4 数值积分,二重数值积分命令格式：q=dblquad(f
10、un,inmin,inmax,outmin,outmax,tol,method) 其中，inmin,inmax是内变量下限和上限，outmin,outmax是外变量下限和上限，只能是常数，即只能计算矩形域上的积分。 【例4-25】 求积分 。,4.6 曲线积分的MATLAB运算,4.6.1 第一类曲线积分 4.6.2 第二类曲线积分,假使在空间曲线I上的密度函数为 ，则其总质量，即第一类曲线积分的值转换为对参数的普通定积分问题为： 【例4-26】 求 ，其中为螺线， 【例4-27】 求 ，其中 为 与 围成的正向曲线。,4.6.1 第一类曲线积分,第二类曲线积分又称为对坐标的曲线积分，表达式为
11、： 。其中，向量 向量 。,4.6.2 第二类曲线积分,4.7 曲面积分的MATLAB运算,4.7.1 第一类曲面积分 4.7.2 第二类曲面积分,曲面积分可分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。,4.7.1 第一类曲面积分,4.7.2 第二类曲面积分,4.8 函数的零点,4.8.1 一元函数的零点 4.8.2 多元函数的零点,x=fzero(fun, x0) %fun表示一元函数，x0表示求解的初始数值。 【例4-33】 求函数在数值区间5 5中的零点。,4.8.1 一元函数的零点,图4-2 函数的图形,x=fsolve(fun ,x0) 用来求解非线性方程组的数值解,4.8.2 多元函数的零
12、点,4.9 一元函数极值,格式： x=fminbnd(fun,x1,x2) x,y=fminbnd(fun,x1,x2) 其中：fun是函数字符串或函数文件创建的函数；x1,x2是搜索极值的区间端点；x,y是所求的极小值点坐标和函数值。,【例4-34】 求函数 的极值。,图4-3 函数 及其极值,【例4-35】 墙高尺，距屋边尺，用一梯子由地面经过墙顶至屋边，如果有一梯子长度为尺，问梯长最短为多少？墙高最大为多少尺？,图4-5 梯长图,图4-6 墙高图,4.10.1 级数的求和与审敛 4.10.2 泰勒展开,4.10 级 数,级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这
13、是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表示为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。,级数的收敛问题是级数理论的基本问题，级数的求和与收敛实际是同一问题，只要可以求和，自然收敛。 级数求和命令格式：symsum(fun,变量起点,终点)，如果省略变量则对默认变量求和。,4.10.1 级数的求和与审敛,命令格式： taylor(fun,n,变量,a)，其中，fun为待展函数；n为展开阶数，缺省是6阶；变量为声明fun中的变量，省略变量则对默认变量展开；a为变量求导的取值点，缺省为0，即麦克劳林展开。,
14、4.10.2 泰勒展开,图4-7 y=cosx及其在 x=0和x=10处泰勒展开曲线,4.11 微分方程问题的计算机求解,dsolve()函数用来求解微分方程（组），命令格式：dsolve(方程1,方程n, 条件1，条件m,变量1,. ,变量k)，其中，方程i为待解方程；条件为初始状态，缺省则求通解；变量为微分自变量，缺省为默认。,t,x=ode23(方程函数名,tspan,x0,选项,附加参数) t,x=ode45(方程函数名,tspan,x0,选项,附加参数) 分别采用二阶三级和四阶五级的RKF方法计算常微分方程的数值解，plot(t,x)为解曲线。,4.12.1 随机变量及其分布 4.1
15、2.2 随机变量函数的分布 4.12.3 随机变量的数字特征 4.12.4 参数估计 4.12.5 假设检验 4.12.6 方差分析,4.12 概 率 统 计,概率统计是现代数学的一个重要分支，近20年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、管理和工程技术等领域得到了广泛的应用。 下面介绍一些概率统计问题的MATLAB求解。,（1）超几何分布H(n,M,N)，其概率密度函数 （2）二项分布B(n,p)，其概率密度函数 （3）泊松分布XP（），其概率密度函数,4.12.1 随机变量及其分布,（4）正态分布XN（,2），其概率密度函数 （5）指数分布Xexp（），其概率密度函数,（6）均匀分布XU(a,b)，若x1,x2是a,b的任一子区间，则Px1xx2=(x2x1)/(ba)。 这表明X落在a,b的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X落在a,b的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。,（7）分布，其概率密度函数 （8）X2
