《高等数学下册 教学课件 ppt 作者 蒋国强第8章 D8_1基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学下册 教学课件 ppt 作者 蒋国强第8章 D8_1基本概念（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八章,第一节,二、区域,一、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、多元函数的概念,1. 定义：,设有变量 x、y 和 z，,如果当变量,x、y 在一定范围内任意取定一对值,时，变量z,按照一定的法则 f 总有唯一确定的数值与它们对应，,则称这个对应法则 f 为 x、y 的二元函数。,变量 x、y 称为自变量。,自变量 x、y取值的范围称为函数的定义域。,记作,同理可定义 x、y
2、、z 的三元函数。,主要以二元函数为例研究多元函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的两个要素：,对应法则 f,定义域 D,例1. 求下列函数的定义域,（1）,定义域 D,（2）,定义域 D,解：,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）,定义域 D,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,，且当,时，,，求函数 z。,解：,例3. 设,，求,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二元函数的几何意义,定义域为,圆域,一般情形:,二元函数,图形是球心在原点的上半球面.,的图形为空间曲面 .,定义域为整个xy面,z = f (x, y), (x, y)
3、 D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 区域,1. 区域,由一条闭曲线或几条闭曲线围成的,平面上一部分,称为一个平面区域。,二元函数的定义域是一个平面区域。,围成区域的曲线称为区域的边界。,不包括边界的区域称为开区域；,包括边界的区域,称为闭区域。,如果区域能够被原点为中心，适当大的数为半径的,圆包含在内，则称区域为有界区域；,否则为无界区域。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、二元函数的极限,定义2. 设 二
4、 元函数,为定义域内一点 ,则称 常数A 为函数,记作,的定义域为D，,当点,以任意方式,无限接近于,时，,相应的函数值,如果,无限接近于一个确定的常数 A，,当,时的极限，,或,任意方式,任意方向,任意路径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例4. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设,，求,故,解:,当,时，有,（有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意： 当点,趋于不同值或有的极限不,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,存在，则可以断定二元函数极限不存在
5、。,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以两种不同方式趋于,例6. 讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 二元函数的连续性,定义3 . 设二元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点 .,则称二元函数,连续.,连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理：若 f (P) 在有界
6、闭域 D 上连续, 则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的,(证明略),如下性质:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求函数,的连续域.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 区域,2. 多元函数概念,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P47 1，3 (1，2)，4(1,3,4),5 (1),第二节 目录 上页 下页 返回 结束,
