《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第十二章 12-8》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 上 教学课件 ppt 作者 张圣勤 黄勇林 姜玉娟第十二章 12-8（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二章 概率,第八节 随机变量的数字特征,第八节 随机变量的数字特征,一 数学期望,二 方差,一、 数学期望,， 求平均成绩。,解 平均成绩为,若用X表示成绩，则,1、数学期望定义,(1) 离散型,设离散型随机变量X的分布律为：,的和为随机变量X的数学期望。,记为EX，即EX=,数学期望也称均值。,(2)连续型,绝对收敛，则称积分,的值为X的数学期望。记为EX=,数学期望也称为均值。,说明,(1) X的数学期望刻划了X变化的平均值.,由于随机变量X的数学期望表示的是随机变量X 变化的平均值,因此,只有当级数 绝对收敛时, 才能保证级数 的和与其级数 的求和 顺序无关.,例2 甲、乙两人射击,
2、他们的射击水平由下表给出:,X 为甲命中的环数;,Y 为乙命中的环数;,试问哪一个人的射击水平较高?,解 甲、乙的平均环数可计为,因此，从平均环数来看，甲的射击水平比乙好。,例3 设随机变量X服从Cauchy分布,其密度函数为,由于,表明积分 不绝对收敛,因而EX不存在.,例4 设离散型随机变量X的分布律为,此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。,则 EX = 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6,若离散型随机变量X的分布律为：,则 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4,例5,按规定，火车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站的
3、时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：,(1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。,解：设旅客的候车时间为X（以分记）,EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分),（2）旅客8：20分到达,X的分布率为,EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36)+70*(3/36)+90*(2/36) =27.22(分),2、随机变量函数的数学期望,定理,设 Y=g(X), g(x) 是连续函数， （1）若 X 的分布率为 且 绝对收敛, 则EY=,例6,解：,3、数学期望的性质,若x
4、, y独立，则 EXY=EXEY,(2) EcX=cEX， c是常数.,(3) E(aX+bY)=aEX+bEY,例7,对N个人进行验血，有两种方案：,（1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验； （2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；,假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是P，且各次 化验结果是相互独立的。,试说明适当选取k可使第二个方案减少化验次数。,解：设X表示第二个方案
5、下的总化验次数， 表示第i个组的化验次数，则,下面求,EX表示第二种方案下总的平均化验次数,EXi表示 第i个组的平均化验次数.,只可能取两个值1或k+1，,，,；,；,例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，,工作量将减少40%.,取最小值，就可使化验次数最少。,方案减少化验次数；当q已知时，若选k使,所以,例8,一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立。求EX,解：设,则,此时, 不是相互独立的.,例9,对产品进行抽样，只要发现废
6、品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。,假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。,解：,设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,n，且,其中 于是,二、方差,1、定义,在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度， 可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用,来度量随机变量X与其均值EX的偏离程度。,称为标准差。,随机变量X的方差，记作DX，Var(X)，,离散型,连续型,方差也可由下面公式求得：,注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。,证明,例10 甲、乙两人射击,他们的射击水平由下表给出:,X 为甲命中的
7、环数;,Y 为乙命中的环数;,试问哪一个人的射击水平较高?,比较两人的平均环数,甲的平均环数为,乙的平均环数为,因此,从平均环数上看,甲乙两人的射击水平是一样的, 但两个人射击环数的方差分别为,由于,这表明乙的射击水平比甲稳定.,2、方差的性质,(1) DX0，若C是常数，则DC=0,(2),(3),a，b是常数。,若X，Y独立，则,证,若X,Y独立，则 E(X-EX)(Y-EY)=E (X-EX)E (Y-EY)=0 故：,注： 令 则 EY=0,DY=1。 称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。,三、几种重要随机变量的数学期望及方差,Shanghai Dianji University,方法1：,2. 二项分布,1.两点分布,方法2：,则X的可能取值为0,1,n，,服从（0-1）分布，,3泊松分布,设X服从参数为泊松分布，其分布律为,，k=0,1,.,4.均匀分布,5正态分布,例11 设X服从参数为(,2)的正态分布,求,的概率.,解,因此，对于正态随机变量来说，它的值落在区间,内几乎是肯定的。,
