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1、距离空间的可分性 有理数在实数集中的稠密性,专题七 距离空间的可分性与完备性,距离空间的完备性 实数的完备性,一般距离空间的完备化,已知：在实直线上， 存在一个处处稠密的可数子集Q, 且成立完备性定理（即柯西收敛原理)。 问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密 的可数子集？完备性定理是否总成立？,一、距离空间的可分性,1.距离空间中的稠密子集,例1 有理数集在R中处处稠密,例2 Rn中的有理点集在Rn中稠密可数,例3 多项式集合P在C a,bLPa,b中处处稠密 (魏尔斯特拉斯一致逼近定理:x(t)Ca,b,pn(t)P,使pn(t)x(t)(n), 即pn(t)按Ca,b中的距离收敛
2、于x(t).,例4 a,b上的有界可测函数集合Ba,b在Lpa,b(p1)中处处稠密.,例5 a,b上的连续函数集合Ca,b按Lpa,b中的距离在Lpa,b中处处稠密.,2.距离空间的可分性,定义2 (可分距离空间) 设X是距离空间. X是可分距离空间, 若X中存在一个处处稠密且可数的子集.,例4 Ca,b 是可分的。 （多项式集合P在C a,b中处处稠密, 因而有理系数多项式集合P0在PC a,b中处处稠密可数）,证：1) 设x(t)Ca,b, 由魏尔斯特拉斯一致逼近定理, 0, p(t)PCa,b,使(x,p)=max|x(t)-p(t)|0, p0(t)P0P, 使(p,p0)=max|
3、p(t)-p0(t)|, p0(t)P0PCa,b, 使 (x,p0)=max|x(t)-p0(t)| max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| p0(t)S(x,)P0按Ca,b中距离在Ca,b中稠密; 而P0Ca,b是可数集，因而Ca,b 可分的。,p0(t)S(x,)P0 按Lpa,b中距离在Lpa,b中稠密; 而P0是可数集，因而Lpa,b 可分的。,证 设x(t)Ca,b, 由上例有0, 有理系数多项式 p0(t)P0，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|/(b-a)1/p,例5 LPa,b是可分的.（多项式集合P在C a,bLPa,b中稠密有理系数
4、多项式集合P0在Lpa,b中稠密可数）,例6 lp(p1)与c 都是可分的. （有理点集A=x=(x1,xn,0,)|xiQ在lp (p1)和c中都处处稠密）,例7 设X是离散距离空间, 证明X可分X是可数集,证：在离散距离空间中没有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子集只有X自身。 故X可分X可数。,注：可见并非所有的距离空间都是可分的。,注：定义在任何一个势为(即不可数)非空集合上的离散距离空间一定是不可分的。(上例中的A也是不可分的。),2）证明m中没有可数稠密子集(反证法) 设m可分 A0=x=(1,2,n,)|i|Km可数, 且在m中稠密A0=x1,x2,xk, 其中xk=(1(k),2
5、(k), n(k) ， 且AmS(xk,1/3） (k=1,2,) A0可数, A不可x,yA, xy, 并x0A0, 使S(x0,1/3)x,y 1=(x,y)(x,x0)+(x0,y)1/3+1/3=2/3, 矛盾, 故m不可分.,例7 有界序列空间m都是不可分的. 证： 1）首先证明m中存在不可数集。 设A=x=(1,2,n,)|i=0 or 1m x=(1,n,)A, y=(1,n, )A, (xy) (x,y)=sup|i-i|=1 0,1=x=0.1,2,n|i=0 or 1A Am不可数,二、距离空间的完备性,1.距离空间中的基本列（或柯西列）,定义3（基本列) 设X是距离空间，
6、xnX. xn是X中的基本列, 若当m, n时, 有xm-xn0, 即对于0,N=N(), 当m, nN时, 有(xm,xn),注:1)距离空间中的任何收敛点列都是基本列(同实数域). 事实上,xnX, xX, xnx 0, N, 当m,nN时, 同时有(xn,x)N时, 有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x) xn是基本列 2)但距离空间中基本列未必是收敛列.(不同于实数域) 例如,X=(0,1), x,yX,(x,y)=|x-y|,点列xn=1/(n+1) 是X中的基本列,但它在X中不收敛 3) 距离空间中的任何基本列都是有界列 (同实数域).,例1 R按通常距离(x,y)=|x-y|
7、完备.(R上每个基本列都收敛),定义4 (完备距离空间) X是完备距离空间, 如果X中的任何基本列都收敛于X中的点.,2. 完备距离空间,注: 1)在完备的距离空间中,基本列一定是收敛的. 2) X是不完备的距离空间, 是指X中存在着不收敛 于X内的点的基本列.,例2 坐标平面上的有限点集X按通常的距离定义是完备的距离空间,证:因为X中的基本列只能是“常驻点列”，即其中元素列出有：x1,x2,xr,xk,xk, xnxk, 因此X是完备的,例3 离散距离空间是完备的距离空间. 证：因为离散距离空间中的基本列的元素都相同，因而收敛。,例4 Ca,b按距离(x,y)=max|x(t)-y(t)|是
8、完备距离空间. 证：设xnCa,b是基本列 0, N=N(), 当m,nN时, 有 (xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N时，有|xn(t)-xm(t)| x(t), 使得xn(t)x(t) (一致) （柯西一致收敛定理) 又xn=xn(t)Ca,bxn(t)在a,b上连续 x(t)在a,b上连续 (一致收敛函数列的保连续性质) x(t)Ca,bxCa,b,使得xnxX是完备的。,例5 Rn按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.,证: x(k)Rn为一基本列,对于i=1,2,n, 当k,jN时,有,设xi(k)xi (k) (i=1,2,n) , 令x=(x1,xn)Rn,（k）,Rn
9、按欧氏距离构成的欧氏空间是完备的.,xi(k)是基本列, 因而xi(k)收敛,0, N,当k,jN时,有,0, N,当kN, j时，有,例6 空间LPa,b、lp、 l (orm)、c 均为完备的距离空间。,证: x(k)l为一基本列,对于i=1,2,n, 当k,jN时,有|xi(k)xi(j)| 对每个i，xi(k)是基本列，因而收敛。,设xi(k) xi (k) (i=1,2,n,), 令 x=(x1,xn,),(下面证xl) 当nN时，有,x(k)lxi(k)Mk,(k=1,2,) xixi-xi(k) + xi (k)+Mk, i=1,2, x=x1,x2,xn,)l,0, N,当k,
10、jN时,有,例6 有理数集Q按距离(x,y)=|x-y|是距离空间,但不完备. 事实上，在有理数集Q中，有理数列(1+1/n)n收敛,因而是基本列, 但其极限为eQ，故Q不完备.,例7 a,b上实系数多项式全体Pa,b按Ca,b中通常的距离构成Ca,b的子空间, 但它是不完备的距离空间。 事实上, 存在多项式列 pn(t)一致收敛于x(t): x(t)Ca,b.x(t)Pa,b,(但是确实存在着不完备的距离空间),例9 C0,1按距离 构成的距离空间,是L10,1的子空间，但它按1(x,y)不完备. 证:构造函数列xm(t)C0,1:,(m=1,2,),xmC0,1是基本列。,如果存在x(t)
11、 使1(xm,x)0(m), 由于,显然x(t)C0,1，所以C0,1按距离1 (x,y)不完备。,可以证明xm在C0,1 中按1(x,y)不收敛。,例10 Ca,b按距离 构成的距离,空间是L2a,b的子空间，但它按2(x,y)不完备.,证:构造函数列xn(t)Ca,b:,|xn(t) |/2, 且在a,b上处处有,（勒贝格有界收敛定理）,xn(t)按距离2收敛于x(t) xn(t)是距离空间(Ca,b, 2)中的基本列 （距离空间中的任何收敛点列都是基本列） 基本列xn(t)的极限函数x(t)a,b 距离空间(Ca,b, 2)不完备。,注 证明一个距离空间X不完备，通常有两种方法： 1)
12、构造X中的一个基本列，然后说明该基本列在X中 无极限； 2) 直接构造X中的一个极限函数不属于X的收敛点 列，该点列一定是X中的基本列 。,定理1 (完备距离空间的性质) 设X是完备距离空间, 1)xn是基本列xn是收敛点列xX, 使xnx 2) FX, F是X的闭子空间F是X的完备子空间 证：1）“充分性” 设xnX, xX，xnx 0, N0, 当nN时, (xn,x)N, mN时, (xn,xm)(xn,x)+(x,xm) xn是基本列 “必要性” 设xn X是基本列, X完备xnX是收敛点列 （完备性定义） 2）“必要性” 设xnF X是基本列，F是X的闭子空间 X完备，xn是基本列x
13、X, 使xnx(n) F闭xF=Fxn在F中收敛F完备 “充分性” 设F完备 xnF，xnxxnF是基本列， F完备xFF是闭的。,证：1）存在性 先证球心点列xn是基本列，从而收敛。,2）唯一性,(x,y)rn0 (n)(x,y)=0,3. 完备距离空间的两个基本定理,定义5 （稀疏集与第二纲集）设X是距离空间 1）若X中任一个球都含有某一个球，使后者不含A的点，则称A为X中的稀疏集（疏朗集）。 2）若A=An，每个An都在X内稀疏，则称A是在X内的第一纲集, 而X内的非第一纲集的集合称为第二纲集. 注：1在稀疏集定义中，“任意球”可以是开球或闭球. 2在R中，有理数集是第一纲集，而无理数集
14、是第二纲集。,定理3 设X是距离空间，A是稀疏集A不在X的任意球中稠密。,证 “” 设A稀疏 S(x0,), S(x1 ,)S(x0,),使S(x1,)A= A不在S(x0,)中稠密 “” 设A不在任一球中稠密 S(x0,), x1S(x0,),但x1A S(x1, )S(x0,),使S(x1,)A=,定理4(第二纲集定理) 设X是完备的距离空间，则X是第二纲集。,推论：给定完备的距离空间X，若AX是第一纲集，则AC 是第二纲集。 例如：由于有理数是R内的第一纲集，故无理数是R内的第二纲集。,注：1）闭球套定理是完备距离空间中的重要定理之一；刻划了距离空间的完备性；是实数中的康托区间套定理的推广。,2）第二纲集定理是完备距离空间的重要定理之二。,完备性可以使空间具有很好的性质和广泛的应用，对于不完备的距离空间，它在应用上将会造成很多困难。,4. 距离空间的完备化,问题：能否在不完备的距离空间中补充一些新“点”， 使之成为完备的距离空间？,例如在有理数集Q中加入“无理数”，便得到完备巨龙间R，并且
