保守系统中的不规则运动-read

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1、第三章走向混沌的道路第三章走向混沌的道路 第五节保守系统中的不规则运动第五节保守系统中的不规则运动 1可积与不可积系统可积与不可积系统 2扰动扰动与与 KAM 定律定律 现在研究如果系统受到扰动以后，它的环面将会发生些什么变化？设未受扰动的系统的运 动是可积的，其哈密量为 )( 0 IH H 。受扰动的系统的哈密量为： ),V(+)( 0 tIIH HH H = (3-5-21) 式中是一无量纲的参数，它的大小决定了扰动的强度。如果1，表示扰动项很小。 假定扰动是周期的，T 为扰动周期，则有： T)+t ,V(=t),V(II (3-5-22) 将V( t)I, , 展开成级数 mn, nm

2、)mnexp()(V=t),V(tiiII (3-5-23) 为扰动频率，这里 n,m 是某整数。把式(3-5-23)代入运动方程(3-5-12)得： mn, nm )mn(exp)(nV0=tiIiI H H (3-5-24a) )mn(exp dI )(dV )(= mn, nm ti I I I H H (3-5-24b) 方程(3-5-24)解写成一般形式为： )1()0( III )1()0( 其中零级近似为： constI )0( consttI)( )0()0( 代入式(3-5-24)得一级近似： m)(nexp)(Vni mn, )0()0( nm )1( tIiII (3-5

3、-25) mn, )0( )0( nm )1( )0( )1( m)(nexp dI )(dV)( tIi I I dI Id (3-5-26) 式(3-5-25)中，nm V 与Vnm相差一相位常因子。式(3-5-25)的右边只是时间的函数，很容易 积分： consttiI )m(nexp m-n Vn mn, nm )1( (3-5-27) 将式(3-5-27)代入式(3-5-26)得： m)(nexp dI Vd m-n Vn )0( mn, nmnm )1( tIi dI d 积分得： mn, nm 2 nm )1( )m(nexp V mn 1 )m-(n Vn ti dI d dI

4、 d i (3-5-28) 我们已经知道，系统的运动频率与 I 有关，当在某个Ir值上出现扰动频率与系统频率 ()Ir 间的公度时，这有： 0=m)(n r I 或 )( r Im n 因为 )( r I 与r I 有关，称为非线性共振。于是可以看到，当发生非线性共振时，(3-5-27)和 (3-5-28)两式中分式的分母等于零，得到发散得结果，这就是著名的小分母发散问题。 由此可见，扰动将对系统产生两种不同的影响。一是当出现非线性共振时，一个很小的扰 动可将导致有理环面发生重大改变，因为从相空间来看，共振相应于有理环面。这是一个 非常复杂的变化，我们将在下一小节作专门讨论。 二是非共振情况。

5、非共振相应于无理环面，这时扰动会对无理环面产生怎样的影响呢？这 是动力学的一个基本问题，虽然历史上很多人企图回答这个问题，但是直到 1954 年才由前 苏联数学家哥尔摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一个环面不变定理，这一定理后来为阿诺德 (Arnold)所证明，而美国数学家莫瑟(Moser)在某些条件下也证明了该定理。因此现在常称 该定理为 KAM 定理。 不变环面守恒定理考虑的是一个近可积系统，即对一完全可积系统施加了一个很小的完全 不可积扰动。KAM 定理说：如果扰动很小，大多数非共振的不变环面并不消失，只是发 生一些微小的变形。满足 KAM 定理的绝大多数轨道，其运动仍然限制在 N

6、 维环面上，环 面上的运动仍然是准周期的。这些未被破坏的环称为 KAM 环。 3. 有理环面破裂与同（异）宿结构有理环面破裂与同（异）宿结构 现在回到非线性共振对有理环面的影响上来。实际上(3-5-27)和(3-5-28)两式没有直接回答 扰动是如何影响有理环面的。这个问题可以用数学的方法来解决，为此需要利用图 3-34 中 的庞加莱截面。先说未受扰动时的情况。在给定能面中取2 =常数的庞加莱截面上，诸轨 线与该截面的交点处在以1 I =常数的圆上。一条轨线相继两次穿越截面的时间间隔为： 2 /2t 因此，1 每次的改变量为： wt2 1 于是就得庞加莱截面上点的运动是一二维映射，称为扭转映射

7、： 1 1 1 1 0 2 I w I T (3-5-29) 当 0 存在扰动时，扭映射 0 T 变成 T ，略去下标后有： ),( ),()(2 IfI IgIw I T (3-5-30) 式中 f 与 g 由扰动项V 确定，但它的具体形式并不重要。 图 3-34 在 T 的作用下有理面发生破裂 我们考察扭映射 0 T 与 T 对有理环面的作用。为确定起见，我们研究绕卷数 mnIW/)( 的有理环面，这里，n 与 m 为不可约整数。记该有理环面为 0 ，它是一个 由映射 m T0 的不动点组成的圆。为了便于讨论，除 0 以外，我们再考虑两条不变曲线， 与 ，它们分别位于 0 的两边。在 m

8、T0 的作用下， 0 圆上的点刚好转动 2 ，曲线 上的点转动小于 2 ，曲线 的点就转动大于 2 。因此看起来 0 圆上的点是不动的， 而 圆上的点会在顺时针转动， 圆上的点则在反时针转动。现在看 m T 的作用。可以 设想，在扰动项V 很小的情况下， m T 的作用不会改变 与 圆上点转动情况，顺时针 仍作顺时针转动，反时针的仍作反时针转动。于是可以想见，在每个 常数的圆半径上， 总存在着这样的点，它转动的角度刚好 2 ，它们只有径向运动而没有转动，将这些点连 结起来，就构成了在 m T 的作用下的曲线 。除了 的闭合曲线以外，还有 的映像的 闭合曲线 )( m T 。由于这是保守系统，

9、与 )( m T 曲线两者不仅保围的面积相等，而 且相交，共有 2m 个交点。根据这些相交点附近点移动的走向，可以看到，其中一半是椭 圆点，另一半是双曲点，它们相间地分布着如图 3-34 所示。 现在注意一下绕那些椭圆不动点附近的一些较小有理环面，这里是一些区域较小的规则运 动。在扰动作用下，它们也将受到破坏。情况与上面讨论的相类似，扰动使其产生更高一 级的椭圆不动点及围绕它们更较小一级的规则运动区。如此的破坏过程还会继续发展下去， 以至产生规则与不规则运动交织在一起的无穷堪套的自相似结构。 再注意一下扰动对双曲不动点附近产生出的影响。我们回忆一下无阻尼单摆或负线性恢复 力的杜芳方程的相图，在

10、这些相图上可以发现，通常有四条流线通过双曲不动点，其中两 条流向双曲点，另两条则背离双曲点。在数学上这些流线称为不变曲线或流形(manifold)。 值得注意，在那些相图上的流线是真正的相轨线，与那些相图上的情况稍有差别，现在这 些双曲点出现在环面的截面上，它们由截面上的点构成。因为通过双曲点的是不变曲线， 所以线上的点无论经过多少次映射都不会跑出该线。人们将两条背离双曲点的流线称为稳 定流形 s w，两条流向双曲点的流线称为不稳定流形 u w。如果我们沿着一条稳定流形 s w从双曲不动点 O 出发，将会连接到的一条不稳定流形 u w进入双曲点 O。如果前后两个 是不同的双曲点，则这样的双曲点

11、称为异宿点(Heteroclinic point)，这是图 3-34 上的情况。 如果前后两个曲点是同一个点，则该双曲点称为同宿点(Homoclinic point)，如图 3-35 所示； 现在考察系统受到小幅度周期性扰动时的同宿点情况，其实异宿点情况与此相似。一般来 说代表点沿着稳定流形 s w离开双曲点后，不太可能连接到的不稳定流形 u w而进入双曲点， 可能性最大的时与不稳定流形发生相交。一旦发生相交，则从交点的流线方向上可以看出， 它们具有与同宿点或异宿点相同的特点：即出现两条流入流线与两条流出流线，但是它们 不是不动点。由于映射 m T 是连续的，于是在双曲不动点 O 外，会产生一

12、系列的新同宿点， 而且， m T 必然要反复作用无限次数才能沿着 s w接近到双曲不动点 O。因此，在到达双曲 不动点 O 以前，流线 s w与 u w交叉产生的异宿点会越来越密，总共会出现无限多个。再者， 由于是保守系统， s w与 u w相继两次交叉所包围的面积应该是一个定值，这使得 s w越趋 近双曲不动点 O，在新产生的同宿点会越来越密的同时振荡幅度越来越大，如图 3-35b 所 示。另一方面，不稳定流形 u w在负映射 s T 作用下趋向双曲不动点，同样由于与稳定流形 s w的交叉而产生一系列的同宿点，也会在接近双曲不动点 O 时出现幅度越来越大的振荡， 如图 3-35c 所示。当我

13、们同时考虑 s T 对 s w， s T 对 u w的作用时，我们将得到双曲不动点 O 附近异常复杂的结构，这种复杂结构被称为同宿结构，如图 3-35d 所示。图 3-36 为异宿 结构图，图中的 G 为 G两个异宿点。 图 3-35 同宿结构 图 3-36 异宿结构 4. 阿诺德扩散阿诺德扩散 现在综合考虑扰动对二维环面运动的影响。在不可积的扰动作用下，假定扰动足够小，则 那些无理环面仍然可以保持，称为 KAM 环面，而有理环面则会发生破裂，产生出一系列 新的椭圆不动点与双曲不动点。新产生椭圆不动点在扰动的连续作用下，又继续产生出更 小一级的椭圆不动点与双曲不动点；而在双曲不动点附近，则由通

14、过不动点的稳定的与不 稳定的流形形成复杂无比的异宿结构，如图 3-37 所示。这些复杂的异宿结构是二维环面上 的非规则运动区。由图可见，KAM 环面将环面上的规则的与非规则的运动区域分隔开来， 因此在整个环面上共存了规则的与非规则的运动。 图 3-37 不可积系统相空间的规则与非规则运动 但是，二维环面上 KAM 环面将规则的与非规则的运动分隔开来的结论能否适用于高维空 间？如果能够，则 KAM 环面将可成为等能面的边界，它们对那些不满足 KAM 定理的导 致不规则运动的少数轨道（即不稳定轨道）起限制作用，使其不能扩散到整个空间，于是 不规则运动将限制于一个局部区域之内。只要扰动足够小，系统在

15、整体上仍是稳定的。我 们知道，N 个自由度的系统具有 2N 维的相空间和 2N1 维的等能面。因此等能面的边界 应是 2N2 维的超曲面。N 维环面要成为等能面的边界，需要满足： N2N2 可见只有 N2 的系统，它们的环面才有可能把等能面包围起来或分割成几个部分。对于 N3 的系统，不会满足这样条件。如图 3-38 所示，在高维相空间里 KAM 环面不会被等 能面隔离，那些不稳定的轨道将有可能在各个 KAM 环面之间来回穿行。它们将会弥散开 来，并逐步扩散到整个等能面上去，这种现象被称为阿诺德扩散。 图 3-38 阿诺德扩散 5. 标准映射标准映射 现在我们研究当保守的单自由度系统受到周期性外力作用时的不规则运动问题，这是与耗 散系统中两个耦合的系统间的同步与锁模相对应的问题。由式(3-5-21)，系统的哈密顿函数 描写： t),V(+)(