《线性代数修订版 董晓波4.1 向量的内积与线性变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数修订版 董晓波4.1 向量的内积与线性变换（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,向量的内积与线性变换, 4.1,定义,一、向量的内积、长度及夹角,设有 维向量,令实数,称 为向量 与 的内积.,内积运算的基本性质,（其中 为 维向量， ）,当 时，,当 时，,（施瓦茨（Schwarz）不等式）,等号成立的充要条件是 线性相关.,说明,维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量的长度和夹角的概念,下面利用内积来定义向量的长度和夹角,定义,令,称 为 维向量 的长度（或范数）.,长度为1的向量称为单位向量.,向量的长度具有下述性质：,因为,由 得到的单位向量 称为向量 的单位化向量.,当 时，,当 时，,证明,由定义，(1)(2)性质是显然的，,由施瓦茨不等式有
2、,从而,即,下面证明(3).,由施瓦茨不等式有,故,由此，可引进向量夹角的定义：,定义,当 时，,称为 维向量 与 的夹角.,例 已知,求,并求 与 的夹角,解,根据定义，可求得,定义,一组两两正交的非零向量所组成的向量组,二、正交向量组,若 则称向量 与 正交；,由定义，零向量跟任何向量都正交.,称为正交向量组且若每个向量都是单位向量，,则称为规范正交向量组.,证明,正交向量组的性质,定理,正交向量组必线性无关.,设有常数 使,以 左乘上式两端，得,设 是一组两两正交的非零向量，,即要证明 线性无关.,类似可得出,因,故,从而,于是，向量组 线性无关.,故,得,由于 两两正交，,例 已知两个
3、三维向量,正交，试求一个非零向量 使 两两正交.,解,设,由题意 与 正交，则,即应满足齐次线性方程组,将系数矩阵化成行阶梯形,从而有基础解系,取,施密特正交化过程,（从线性无关组导出正交向量组的方法）,设 是线性无关的向量组，取,这样得到的向量组 两两正交，并且与,向量组 等价. 进一步将它们单位化，即得,是一个规范正交向量组.,由施密特正交化过程可以说明：,（1）不仅 与 等价，,是正交向量组，线性无关；而且，对,（2）如果向量组 是齐次线性方程组,例 试用施密特正交化过程把下面的,解,向量组规范正交化:,取,再将 单位化，即取,则 即为所求.,例 已知,解,求一组非零向量 使,两两正交.
4、,齐次方程,即,它的基础解系为,把基础解系正交化，即取,即为所求.,证明,定义,三、正交矩阵,为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是,若 阶方阵 满足 （即 ），,则 称为正交矩阵，简称为正交阵.,单位向量且两两正交,将 用列向量表示,同理， 的行向量也具有类似的特性.,例 判别下列矩阵是否为正交阵,解,所以它不是正交矩阵,（1）考察矩阵的第一列，由于,所以它是正交矩阵,（2）由于,例,解,验证矩阵,是正交矩阵.,的每个列向量都是单位向量，且两两正交，,所以 是正交矩阵.,单位矩阵 也是正交矩阵.,因为 或由充要条件也易见.,正交阵的性质,（1）正交阵的行列式为1或-1；,（2）正交阵的转置仍是正交阵；,（3）正交阵的逆阵仍是正交阵；,（4）两个正交阵的乘积仍是正交阵；,四、线性变换,定义 设 为 阶方阵，则称 为从 到,的线性变换，其中,的方程组形式为,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,若 为可逆矩阵，则称 为可逆线性变换，,简称可逆变换. 称 为线性变换 的逆变换.,定义,变换，简称正交变换.,若 为正交阵，则称 为正交线性,设 为正交变换，则有,
