《线性代数修订版 董晓波4.4 实对称阵的对角化》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数修订版 董晓波4.4 实对称阵的对角化（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,实对称阵的对角化, 4.4,定理 实对称矩阵的特征值为实数.,一、实对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,该定理的意义,由于对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次,方程组必有实的基础解系，所以对应,的特征向量可以取实向量.,证明,定理 设 是实对称阵 的两个特征值， 是对应的特征向量，若 则 正交.,因为,所以,定理,阶实对称阵 一定可以对角化. 即存在,可逆矩阵 使得,其中 是 的 个特征值.,推论,对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.,为 阶实对称阵， 是 的特征方程的,证明,因为实对称阵一定可以对角化. 所以 与,等于 有 个不等于 从而对角阵
2、的对,所以,定理,是 的 个特征值.,设 是 阶实对称阵，则存在正交阵,阶实对称阵 一定可以对角化. 对角化的方式：,（1）存在可逆矩阵 使得 为对角阵，即,可以相似对角化.,（2）存在正交矩阵 使得 为对角,阵，即 可以正交对角化.,将对称矩阵化为对角矩阵的具体步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法,（1）求出 的全部互不相等的特征值,（2）对每一个 重特征值 求方程,的基础解系，得 个线性无关的特征向量.,若对 进行相似对角化，则转步骤（3）.,（3）以（2）的全部特征向量作为列向量，构成可逆,矩阵 有 其中 的对角元的排列次序应与,中列向量的排列次序相同，即若,的特征向量，,
3、若对 进行正交对角化，则转步骤（4）和（5）.,（5）以这 个两两正交的单位特征向量作为列向量，,角元的排列次序应与 中列向量的排列次序相同.,（4）将（2）的全部特征向量正交化，并单位化，可,得 个两两正交的单位特征向量.,例 设实对称阵,求可逆阵,使得 为对角阵.,解,的特征多项式为,则矩阵 的特征值为,得基础解系,由此可得对应的,两个线性无关的特征向量,可得对应的特征向量,令矩阵,则有,例 设实对称阵,求正交阵,使得 为对角阵.,解,先求 的特征值：,得特征值为,向量两两正交，因此以下求出的特征向量只需单位化.,由于 是三个不同的特征值，故其对应的特征,由,对应的特征向量为,将其单位化得
4、,由,对应的特征向量为,将其单位化得,由,对应的特征向量为,将其单位化得,以 为列向量构造矩阵,则 为正交阵且,为对角阵.,解,先求特征值：,则特征值为,对于,解方程,得基础解系,单位化得,对于,解方程,得基础解系,正交化：,单位化：,取,则,例 设,求,解,因 对称，故 可对角化，即有可逆矩阵,及对角阵 使,于是,从而,由,得,的特征值,于是,对于 由,得,对于 由,得,则,故,1. 对称矩阵的性质：,小 结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量； (3)将特征向量单位化；(4)最后正交化,
